2205. Pojam i svojstva logaritma

Da bismo odredili znak datog izraza, analiziraćemo osnovu logaritma i njegov argument. Neka je argument logaritma označen sa $A .$

A = \frac{1}{2} (1 - \log_7 3)

Osnova spoljašnjeg logaritma je $1,7 .$ Pošto je osnova veća od $1$ ( $1,7 > 1$ ), funkcija $y = \log_{1,7} x$ je strogo rastuća. Znak logaritma zavisi od toga da li je argument $A > 1$ ili $0 < A < 1 .$

\log_{1,7} A < 0 \iff 0 < A < 1

Prvo ćemo proceniti vrednost izraza $\log_7 3 .$ Kako je funkcija $y = \log_7 x$ rastuća (jer je osnova $7 > 1$ ) i važi $1 < 3 < 7 ,$ možemo zaključiti sledeće:

\log_7 1 < \log_7 3 < \log_7 7

Primenom osnovnih osobina logaritma ( $\log_a 1 = 0$ i $\log_a a = 1$ ), dobijamo granice za $\log_7 3 .$

0 < \log_7 3 < 1

Sada procenjujemo izraz $1 - \log_7 3 .$ Množenjem prethodne nejednakosti sa $-1$ i dodavanjem $1 ,$ dobijamo:

0 < 1 - \log_7 3 < 1

Množenjem dobijene nejednakosti sa $\frac{1}{2} ,$ nalazimo granice za argument $A .$

0 < \frac{1}{2} (1 - \log_7 3) < \frac{1}{2}

Pošto je argument $A$ strogo veći od $0$ i strogo manji od $\frac{1}{2} ,$ sledi da je $0 < A < 1 .$

0 < A < 1

Kako je osnova logaritma $1,7 > 1 ,$ a argument se nalazi u intervalu $(0, 1) ,$ vrednost celog izraza je negativna.

\log_{1,7} \left[ \frac{1}{2} (1 - \log_7 3) \right] < 0

507.a