2189.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Odrediti znak izraza:

log⁡0,3[107(log⁡25−1)]\log_{0,3} \left[ \frac{10}{7} (\log_2 5 - 1) \right]
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo uprostiti izraz unutar srednjih zagrada. Znamo da je 1=log⁡22. 1 = \log_2 2 .

log⁡25−1=log⁡25−log⁡22\log_2 5 - 1 = \log_2 5 - \log_2 2

Koristeći osobinu logaritma za količnik log⁡ax−log⁡ay=log⁡axy, \log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y} , dobijamo:

log⁡25−log⁡22=log⁡252=log⁡22,5\log_2 5 - \log_2 2 = \log_2 \frac{5}{2} = \log_2 2,5

Sada možemo proceniti vrednost celog izraza unutar srednjih zagrada:

107(log⁡25−1)=107log⁡22,5\frac{10}{7} (\log_2 5 - 1) = \frac{10}{7} \log_2 2,5

Pošto je osnova logaritma 2>1, 2 > 1 , funkcija je rastuća. Kako je 2,5>2, 2,5 > 2 , važi:

log⁡22,5>log⁡22=1\log_2 2,5 > \log_2 2 = 1

Množenjem ove nejednakosti sa 107 \frac{10}{7} (što je pozitivan broj) dobijamo:

107log⁡22,5>107⋅1=107\frac{10}{7} \log_2 2,5 > \frac{10}{7} \cdot 1 = \frac{10}{7}

Kako je 107>1, \frac{10}{7} > 1 , sledi da je ceo argument spoljašnjeg logaritma strogo veći od 1. 1 .

107(log⁡25−1)>1\frac{10}{7} (\log_2 5 - 1) > 1

Sada posmatramo spoljašnji logaritam. Njegova osnova je 0,3. 0,3 . Pošto je 0<0,3<1, 0 < 0,3 < 1 , logaritamska funkcija sa ovom osnovom je opadajuća.

Za opadajuću logaritamsku funkciju, ako je argument veći od 1, 1 , vrednost logaritma je manja od 0. 0 . Zaključujemo da je dati izraz negativan.

log⁡0,3[107(log⁡25−1)]<0\log_{0,3} \left[ \frac{10}{7} (\log_2 5 - 1) \right] < 0

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti