2188.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Dokazati da je: log⁡1m1n=log⁡mn, \log_{\frac{1}{m}} \frac{1}{n} = \log_m n , za m>0, m > 0 , n>0, n > 0 , m≠1. m \neq 1 .

REŠENJE ZADATKA

Zapišimo razlomke kao stepene sa negativnim izložiocem:

1m=m−1,1n=n−1\frac{1}{m} = m^{-1}, \quad \frac{1}{n} = n^{-1}

Zamenimo ove izraze u početni logaritam na levoj strani jednakosti:

log⁡1m1n=log⁡m−1n−1\log_{\frac{1}{m}} \frac{1}{n} = \log_{m^{-1}} n^{-1}

Primenimo osobinu logaritma za stepen osnove log⁡asx=1slog⁡ax: \log_{a^s} x = \frac{1}{s} \log_a x :

log⁡m−1n−1=1−1log⁡mn−1=−log⁡mn−1\log_{m^{-1}} n^{-1} = \frac{1}{-1} \log_m n^{-1} = -\log_m n^{-1}

Sada primenimo osobinu logaritma za stepen argumenta log⁡axs=slog⁡ax: \log_a x^s = s \log_a x :

−log⁡mn−1=−(−1)log⁡mn-\log_m n^{-1} = -(-1) \log_m n

Sredimo dobijeni izraz množenjem znakova:

−(−1)log⁡mn=1⋅log⁡mn=log⁡mn-(-1) \log_m n = 1 \cdot \log_m n = \log_m n

Ovim smo pokazali da je leva strana jednaka desnoj, čime je dokaz završen.

log⁡1m1n=log⁡mn\log_{\frac{1}{m}} \frac{1}{n} = \log_m n

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti