PrethodniSledeći
2177.

500.v

TEKST ZADATKA

Dokazati da je: log⁡312=1+log⁡37⋅log⁡75⋅log⁡54. \log_3 12 = 1 + \log_3 7 \cdot \log_7 5 \cdot \log_5 4 .

REŠENJE ZADATKA

Poći ćemo od desne strane jednakosti i primeniti pravilo za promenu osnove logaritma: log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac. \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c . Prvo posmatramo proizvod prva dva logaritma.

log⁡37⋅log⁡75=log⁡35\log_3 7 \cdot \log_7 5 = \log_3 5

Sada dobijeni rezultat pomnožimo sa preostalim logaritmom iz izraza, ponovo koristeći isto pravilo.

(log⁡37⋅log⁡75)⋅log⁡54=log⁡35⋅log⁡54=log⁡34(\log_3 7 \cdot \log_7 5) \cdot \log_5 4 = \log_3 5 \cdot \log_5 4 = \log_3 4

Sada desna strana jednakosti postaje:

1+log⁡341 + \log_3 4

Broj 1 1 možemo napisati kao logaritam sa osnovom 3 3 koristeći osobinu log⁡aa=1. \log_a a = 1 .

1=log⁡331 = \log_3 3

Zamenimo 1 1 u izraz i primenimo osobinu logaritma za zbir: log⁡ax+log⁡ay=log⁡axy. \log_a x + \log_a y = \log_a xy .

log⁡33+log⁡34=log⁡3(3⋅4)=log⁡312\log_3 3 + \log_3 4 = \log_3 (3 \cdot 4) = \log_3 12

Dobijeni rezultat odgovara levoj strani polazne jednakosti, čime je dokaz završen.

log⁡312=log⁡312\log_3 12 = \log_3 12

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu