Dokaz: proizvod šest logaritama jednak je 1/3

Za rešavanje ovog zadatka koristićemo formulu za promenu osnove logaritma: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} .$ Izabraćemo proizvoljnu osnovu $c ,$ na primer dekadni logaritam (osnova 10), pa svaki faktor u proizvodu transformišemo na sledeći način:

\log_3 2 = \frac{\lg 2}{\lg 3}, \quad \log_4 3 = \frac{\lg 3}{\lg 4}, \quad \dots

Zamenimo sve logaritme u polaznom izrazu njihovim ekvivalentnim razlomcima:

L = \frac{\lg 2}{\lg 3} \cdot \frac{\lg 3}{\lg 4} \cdot \frac{\lg 4}{\lg 5} \cdot \frac{\lg 5}{\lg 6} \cdot \frac{\lg 6}{\lg 7} \cdot \frac{\lg 7}{\lg 8}

Primećujemo da se brojioci i imenioci susednih razlomaka skraćuju (npr. $\lg 3$ sa $\lg 3 ,$ $\lg 4$ sa $\lg 4 ,$ itd.). Nakon skraćivanja, preostaju samo prvi brojilac i poslednji imenilac:

L = \frac{\lg 2}{\lg 8}

Sada ponovo primenjujemo formulu za promenu osnove, ali u obrnutom smeru, ili izražavamo broj 8 kao stepen broja 2:

L = \log_8 2

Pošto je $8 = 2^3 ,$ koristimo osobinu $\log_{a^s} x = \frac{1}{s} \log_a x :$

\log_{2^3} 2 = \frac{1}{3} \log_2 2

Kako je $\log_2 2 = 1 ,$ dobijamo konačan rezultat:

L = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}

Ovim je dokazano da je polazna jednakost tačna.

\frac{1}{3} = \frac{1}{3}

Započni učenje

Online časovi

500.g

Beleške