2162.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Dokazati da je vrednost sledećeg proizvoda logaritama jednaka 13: \frac{1}{3} :

log⁡32⋅log⁡43⋅log⁡54⋅log⁡65⋅log⁡76⋅log⁡87=13\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \log_6 5 \cdot \log_7 6 \cdot \log_8 7 = \frac{1}{3}
REŠENJE ZADATKA

Za rešavanje ovog zadatka koristićemo formulu za promenu osnove logaritma: log⁡ab=log⁡cblog⁡ca. \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} . Izabraćemo proizvoljnu osnovu c, c , na primer dekadni logaritam (osnova 10), pa svaki faktor u proizvodu transformišemo na sledeći način:

log⁡32=lg⁡2lg⁡3,log⁡43=lg⁡3lg⁡4,…\log_3 2 = \frac{\lg 2}{\lg 3}, \quad \log_4 3 = \frac{\lg 3}{\lg 4}, \quad \dots

Zamenimo sve logaritme u polaznom izrazu njihovim ekvivalentnim razlomcima:

L=lg⁡2lg⁡3⋅lg⁡3lg⁡4⋅lg⁡4lg⁡5⋅lg⁡5lg⁡6⋅lg⁡6lg⁡7⋅lg⁡7lg⁡8L = \frac{\lg 2}{\lg 3} \cdot \frac{\lg 3}{\lg 4} \cdot \frac{\lg 4}{\lg 5} \cdot \frac{\lg 5}{\lg 6} \cdot \frac{\lg 6}{\lg 7} \cdot \frac{\lg 7}{\lg 8}

Primećujemo da se brojioci i imenioci susednih razlomaka skraćuju (npr. lg⁡3 \lg 3 sa lg⁡3, \lg 3 , lg⁡4 \lg 4 sa lg⁡4, \lg 4 , itd.). Nakon skraćivanja, preostaju samo prvi brojilac i poslednji imenilac:

L=lg⁡2lg⁡8L = \frac{\lg 2}{\lg 8}

Sada ponovo primenjujemo formulu za promenu osnove, ali u obrnutom smeru, ili izražavamo broj 8 kao stepen broja 2:

L=log⁡82L = \log_8 2

Pošto je 8=23, 8 = 2^3 , koristimo osobinu log⁡asx=1slog⁡ax: \log_{a^s} x = \frac{1}{s} \log_a x :

log⁡232=13log⁡22\log_{2^3} 2 = \frac{1}{3} \log_2 2

Kako je log⁡22=1, \log_2 2 = 1 , dobijamo konačan rezultat:

L=13⋅1=13L = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}

Ovim je dokazano da je polazna jednakost tačna.

13=13\frac{1}{3} = \frac{1}{3}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti