Dokaz: proizvod logaritama od osnove 3 do 10

Da bismo dokazali ovaj identitet, koristićemo formulu za promenu osnove logaritma: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} .$ Sve logaritme u proizvodu na levoj strani jednakosti prebacujemo na osnovu 10 (dekadni logaritam, označen sa $\lg$ ).

\log_a b = \frac{\lg b}{\lg a}

Primenjujemo formulu na svaki faktor u proizvodu:

\begin{aligned} \log_3 2 &= \frac{\lg 2}{\lg 3} \\ \log_4 3 &= \frac{\lg 3}{\lg 4} \\ \log_5 4 &= \frac{\lg 4}{\lg 5} \\ &\vdots \\ \log_{10} 9 &= \frac{\lg 9}{\lg 10} \end{aligned}

Sada zamenjujemo ove izraze u početni proizvod na levoj strani:

L = \frac{\lg 2}{\lg 3} \cdot \frac{\lg 3}{\lg 4} \cdot \frac{\lg 4}{\lg 5} \cdot \dots \cdot \frac{\lg 9}{\lg 10}

Primećujemo da se brojioci i imenioci susednih razlomaka skraćuju (teleskopski proizvod). Skraćujemo $\lg 3 ,$ $\lg 4 ,$ pa sve do $\lg 9 .$ Preostaju samo prvi brojilac i poslednji imenilac:

L = \frac{\lg 2}{\lg 10}

Znamo da je dekadni logaritam broja 10 jednak 1, jer je osnova logaritma $\lg$ zapravo 10, a važi $\log_a a = 1 .$

\lg 10 = 1

Konačno, uvrštavanjem vrednosti dobijamo traženi rezultat:

L = \frac{\lg 2}{1} = \lg 2

Ovim je dokazano da je leva strana jednaka desnoj strani.

\lg 2 = \lg 2

Započni učenje

Online časovi

500.d

Beleške