2153.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Dokazati da je:

log⁡32⋅log⁡43⋅⋯⋅log⁡109=lg⁡2\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \dots \cdot \log_{10} 9 = \lg 2
REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali ovaj identitet, koristićemo formulu za promenu osnove logaritma: log⁡ab=log⁡cblog⁡ca. \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} . Sve logaritme u proizvodu na levoj strani jednakosti prebacujemo na osnovu 10 (dekadni logaritam, označen sa lg⁡ \lg ).

log⁡ab=lg⁡blg⁡a\log_a b = \frac{\lg b}{\lg a}

Primenjujemo formulu na svaki faktor u proizvodu:

log⁡32=lg⁡2lg⁡3log⁡43=lg⁡3lg⁡4log⁡54=lg⁡4lg⁡5⋮log⁡109=lg⁡9lg⁡10\begin{aligned} \log_3 2 &= \frac{\lg 2}{\lg 3} \\ \log_4 3 &= \frac{\lg 3}{\lg 4} \\ \log_5 4 &= \frac{\lg 4}{\lg 5} \\ &\vdots \\ \log_{10} 9 &= \frac{\lg 9}{\lg 10} \end{aligned}

Sada zamenjujemo ove izraze u početni proizvod na levoj strani:

L=lg⁡2lg⁡3⋅lg⁡3lg⁡4⋅lg⁡4lg⁡5⋅⋯⋅lg⁡9lg⁡10L = \frac{\lg 2}{\lg 3} \cdot \frac{\lg 3}{\lg 4} \cdot \frac{\lg 4}{\lg 5} \cdot \dots \cdot \frac{\lg 9}{\lg 10}

Primećujemo da se brojioci i imenioci susednih razlomaka skraćuju (teleskopski proizvod). Skraćujemo lg⁡3, \lg 3 , lg⁡4, \lg 4 , pa sve do lg⁡9. \lg 9 . Preostaju samo prvi brojilac i poslednji imenilac:

L=lg⁡2lg⁡10L = \frac{\lg 2}{\lg 10}

Znamo da je dekadni logaritam broja 10 jednak 1, jer je osnova logaritma lg⁡ \lg zapravo 10, a važi log⁡aa=1. \log_a a = 1 .

lg⁡10=1\lg 10 = 1

Konačno, uvrštavanjem vrednosti dobijamo traženi rezultat:

L=lg⁡21=lg⁡2L = \frac{\lg 2}{1} = \lg 2

Ovim je dokazano da je leva strana jednaka desnoj strani.

lg⁡2=lg⁡2\lg 2 = \lg 2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti