2154.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Dokazati da je vrednost sledećeg izraza jednaka 12: \frac{1}{2} :

log⁡45⋅log⁡57⋅log⁡72=12\log_4 5 \cdot \log_5 7 \cdot \log_7 2 = \frac{1}{2}
REŠENJE ZADATKA

Za rešavanje ovog zadatka koristićemo osobinu promene osnove logaritma, koja glasi log⁡ab=log⁡cblog⁡ca. \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} . Izabraćemo proizvoljnu osnovu c, c , na primer dekadni logaritam (osnova 10), kako bismo sve logaritme sveli na istu osnovu.

Primenjujemo formulu na svaki faktor u proizvodu na levoj strani jednakosti:

log⁡45=lg⁡5lg⁡4,log⁡57=lg⁡7lg⁡5,log⁡72=lg⁡2lg⁡7\log_4 5 = \frac{\lg 5}{\lg 4}, \quad \log_5 7 = \frac{\lg 7}{\lg 5}, \quad \log_7 2 = \frac{\lg 2}{\lg 7}

Sada uvrštavamo ove razlomke u početni izraz i vršimo skraćivanje:

lg⁡5lg⁡4⋅lg⁡7lg⁡5⋅lg⁡2lg⁡7=lg⁡2lg⁡4\frac{\lg 5}{\lg 4} \cdot \frac{\lg 7}{\lg 5} \cdot \frac{\lg 2}{\lg 7} = \frac{\lg 2}{\lg 4}

Znamo da je 4=22, 4 = 2^2 , pa koristimo osobinu log⁡axs=slog⁡ax \log_a x^s = s \log_a x da transformišemo imenilac:

lg⁡4=lg⁡22=2lg⁡2\lg 4 = \lg 2^2 = 2 \lg 2

Zamenjujemo dobijenu vrednost u izraz i računamo konačan rezultat:

lg⁡22lg⁡2=12\frac{\lg 2}{2 \lg 2} = \frac{1}{2}

Ovim je dokazano da je leva strana jednaka desnoj strani.

12=12\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti