Dokaz: proizvod tri logaritma jednak je 1/2

Za rešavanje ovog zadatka koristićemo osobinu promene osnove logaritma, koja glasi $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} .$ Izabraćemo proizvoljnu osnovu $c ,$ na primer dekadni logaritam (osnova 10), kako bismo sve logaritme sveli na istu osnovu.

Primenjujemo formulu na svaki faktor u proizvodu na levoj strani jednakosti:

\log_4 5 = \frac{\lg 5}{\lg 4}, \quad \log_5 7 = \frac{\lg 7}{\lg 5}, \quad \log_7 2 = \frac{\lg 2}{\lg 7}

Sada uvrštavamo ove razlomke u početni izraz i vršimo skraćivanje:

\frac{\lg 5}{\lg 4} \cdot \frac{\lg 7}{\lg 5} \cdot \frac{\lg 2}{\lg 7} = \frac{\lg 2}{\lg 4}

Znamo da je $4 = 2^2 ,$ pa koristimo osobinu $\log_a x^s = s \log_a x$ da transformišemo imenilac:

\lg 4 = \lg 2^2 = 2 \lg 2

Zamenjujemo dobijenu vrednost u izraz i računamo konačan rezultat:

\frac{\lg 2}{2 \lg 2} = \frac{1}{2}

Ovim je dokazano da je leva strana jednaka desnoj strani.

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Započni učenje

Online časovi

500.a

Beleške