2163.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Dokazati da je:

log⁡54⋅log⁡65⋅log⁡76⋅log⁡87=23\log_5 4 \cdot \log_6 5 \cdot \log_7 6 \cdot \log_8 7 = \frac{2}{3}
REŠENJE ZADATKA

Za rešavanje ovog zadatka koristićemo osobinu promene osnove logaritma: log⁡ab=log⁡cblog⁡ca. \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} . Sve logaritme u izrazu na levoj strani jednakosti prebacujemo na istu, proizvoljnu osnovu c. c .

log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Primenjujemo formulu na svaki faktor u proizvodu:

log⁡c4log⁡c5⋅log⁡c5log⁡c6⋅log⁡c6log⁡c7⋅log⁡c7log⁡c8=23\frac{\log_c 4}{\log_c 5} \cdot \frac{\log_c 5}{\log_c 6} \cdot \frac{\log_c 6}{\log_c 7} \cdot \frac{\log_c 7}{\log_c 8} = \frac{2}{3}

Primećujemo da se brojioci i imenioci susednih razlomaka mogu skratiti (log⁡c5, \log_c 5 , log⁡c6 \log_c 6 i log⁡c7 \log_c 7 ). Nakon skraćivanja, izraz postaje:

log⁡c4log⁡c8=23\frac{\log_c 4}{\log_c 8} = \frac{2}{3}

Sada ponovo koristimo istu formulu, ali u obrnutom smeru, kako bismo vratili izraz na jedan logaritam:

log⁡84=23\log_8 4 = \frac{2}{3}

Brojeve 4 i 8 možemo zapisati kao stepene broja 2: 4=22 4 = 2^2 i 8=23. 8 = 2^3 . Zatim koristimo osobine log⁡asx=1slog⁡ax \log_{a^s} x = \frac{1}{s} \log_a x i log⁡axs=slog⁡ax. \log_a x^s = s \log_a x .

log⁡2322=23log⁡22\log_{2^3} 2^2 = \frac{2}{3} \log_2 2

Pošto je log⁡22=1, \log_2 2 = 1 , dobijamo konačan rezultat:

23⋅1=23\frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}

Ovim je dokazano da je leva strana jednaka desnoj strani.

23=23\frac{2}{3} = \frac{2}{3}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti