Dokaz: proizvod četiri logaritma jednak je 2/3

Za rešavanje ovog zadatka koristićemo osobinu promene osnove logaritma: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} .$ Sve logaritme u izrazu na levoj strani jednakosti prebacujemo na istu, proizvoljnu osnovu $c .$

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Primenjujemo formulu na svaki faktor u proizvodu:

\frac{\log_c 4}{\log_c 5} \cdot \frac{\log_c 5}{\log_c 6} \cdot \frac{\log_c 6}{\log_c 7} \cdot \frac{\log_c 7}{\log_c 8} = \frac{2}{3}

Primećujemo da se brojioci i imenioci susednih razlomaka mogu skratiti ( $\log_c 5 ,$ $\log_c 6$ i $\log_c 7$ ). Nakon skraćivanja, izraz postaje:

\frac{\log_c 4}{\log_c 8} = \frac{2}{3}

Sada ponovo koristimo istu formulu, ali u obrnutom smeru, kako bismo vratili izraz na jedan logaritam:

\log_8 4 = \frac{2}{3}

Brojeve 4 i 8 možemo zapisati kao stepene broja 2: $4 = 2^2$ i $8 = 2^3 .$ Zatim koristimo osobine $\log_{a^s} x = \frac{1}{s} \log_a x$ i $\log_a x^s = s \log_a x .$

\log_{2^3} 2^2 = \frac{2}{3} \log_2 2

Pošto je $\log_2 2 = 1 ,$ dobijamo konačan rezultat:

\frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}

Ovim je dokazano da je leva strana jednaka desnoj strani.

\frac{2}{3} = \frac{2}{3}

Započni učenje

Online časovi

500.b

Beleške