2171.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost izraza:

alog⁡ab−blog⁡ba,a>1,b>1a^{\sqrt{\log_a b}} - b^{\sqrt{\log_b a}}, \quad a > 1, b > 1
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati drugi član izraza blog⁡ba b^{\sqrt{\log_b a}} koristeći osobinu za promenu osnove logaritma log⁡ba=1log⁡ab. \log_b a = \frac{1}{\log_a b} .

blog⁡ba=b1log⁡ab=b1log⁡abb^{\sqrt{\log_b a}} = b^{\sqrt{\frac{1}{\log_a b}}} = b^{\frac{1}{\sqrt{\log_a b}}}

Sada ćemo iskoristiti osnovni logaritamski identitet b=alog⁡ab b = a^{\log_a b} i zameniti b b u prethodnom izrazu.

b1log⁡ab=(alog⁡ab)1log⁡abb^{\frac{1}{\sqrt{\log_a b}}} = \left( a^{\log_a b} \right)^{\frac{1}{\sqrt{\log_a b}}}

Primenjujemo pravilo za stepenovanje stepena (am)n=am⋅n. (a^m)^n = a^{m \cdot n} .

alog⁡ab⋅1log⁡ab=alog⁡ablog⁡aba^{\log_a b \cdot \frac{1}{\sqrt{\log_a b}}} = a^{\frac{\log_a b}{\sqrt{\log_a b}}}

Sređujemo eksponent deljenjem izraza sa njegovim korenom, koristeći xx=x \frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} za x>0. x > 0 .

alog⁡aba^{\sqrt{\log_a b}}

Vraćamo se na početni izraz i zamenjujemo transformisani drugi član.

alog⁡ab−alog⁡ab=0a^{\sqrt{\log_a b}} - a^{\sqrt{\log_a b}} = 0

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti