2161. Pojam i svojstva logaritma

Prvo ćemo izraz $A$ zapisati u obliku stepena koristeći pravilo $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} .$ Počinjemo od unutrašnjih korena.

A = (a(a(b)^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}

Sredimo izraz unutar zagrada koristeći pravilo za stepenovanje proizvoda $(xy)^s = x^s y^s$ i stepenovanje stepena $(x^r)^s = x^{rs} .$

A = a^{\frac{1}{2}} \cdot (a \cdot b^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{1}{8}}

Saberemo izložioce uz bazu $a$ koristeći pravilo $a^r \cdot a^s = a^{r+s} .$

A = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{1}{8}} = a^{\frac{3}{4}} \cdot b^{\frac{1}{8}}

Sada primenjujemo logaritam na obe strane izraza. Koristimo osobinu logaritma proizvoda: $\log(xy) = \log x + \log y .$

\log A = \log(a^{\frac{3}{4}} \cdot b^{\frac{1}{8}}) = \log a^{\frac{3}{4}} + \log b^{\frac{1}{8}}

Primenjujemo osobinu logaritma stepena: $\log x^s = s \log x .$

\log A = \frac{3}{4} \log a + \frac{1}{8} \log b

Konačan rezultat logaritmovanja izraza je:

\log A = \frac{1}{8}(6 \log a + \log b)

496.g