2158.

Pojam i svojstva logaritma

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost izraza:

log⁡35⋅log⁡49⋅log⁡52\log_3 5 \cdot \log_4 9 \cdot \log_5 2
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo pravilo za promenu osnove logaritma log⁡ab=log⁡cblog⁡ca \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} kako bismo sve logaritme sveli na istu osnovu. U ovom slučaju, najpogodnije je koristiti prirodni logaritam ili dekadni logaritam. Koristićemo opštu osnovu c. c .

log⁡35=log⁡c5log⁡c3,log⁡49=log⁡c9log⁡c4,log⁡52=log⁡c2log⁡c5\log_3 5 = \frac{\log_c 5}{\log_c 3}, \quad \log_4 9 = \frac{\log_c 9}{\log_c 4}, \quad \log_5 2 = \frac{\log_c 2}{\log_c 5}

Zamenjujemo dobijene razlomke u početni izraz:

log⁡c5log⁡c3⋅log⁡c9log⁡c4⋅log⁡c2log⁡c5\frac{\log_c 5}{\log_c 3} \cdot \frac{\log_c 9}{\log_c 4} \cdot \frac{\log_c 2}{\log_c 5}

Primećujemo da se log⁡c5 \log_c 5 u brojiocu prvog i imeniocu trećeg razlomka skraćuju. Izraz postaje:

1log⁡c3⋅log⁡c9log⁡c4⋅log⁡c2=log⁡c9⋅log⁡c2log⁡c3⋅log⁡c4\frac{1}{\log_c 3} \cdot \frac{\log_c 9}{\log_c 4} \cdot \log_c 2 = \frac{\log_c 9 \cdot \log_c 2}{\log_c 3 \cdot \log_c 4}

Brojeve 9 i 4 možemo zapisati kao stepene brojeva 3 i 2, redom: 9=32 9 = 3^2 i 4=22. 4 = 2^2 . Zatim koristimo osobinu log⁡axs=slog⁡ax: \log_a x^s = s \log_a x :

log⁡c9=log⁡c32=2log⁡c3log⁡c4=log⁡c22=2log⁡c2\log_c 9 = \log_c 3^2 = 2 \log_c 3 \\ \log_c 4 = \log_c 2^2 = 2 \log_c 2

Uvrštavamo ove vrednosti nazad u izraz i vršimo skraćivanje:

2log⁡c3⋅log⁡c2log⁡c3⋅2log⁡c2\frac{2 \log_c 3 \cdot \log_c 2}{\log_c 3 \cdot 2 \log_c 2}

Nakon skraćivanja svih članova, dobijamo konačan rezultat:

22=1\frac{2}{2} = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti