2157.

498.g

TEKST ZADATKA

Odrediti x x iz jednačine (antilogaritmovati) (a,b,c,d>0 a, b, c, d > 0 ; m,n≠0 m, n \neq 0 ):

log⁡x=log⁡a+12(log⁡b−log⁡c)\log x = \log a + \frac{1}{2}(\log b - \log c)
REŠENJE ZADATKA

Prvo primenjujemo osobinu logaritma količnika log⁡axy=log⁡ax−log⁡ay \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y na izraz u zagradi:

log⁡b−log⁡c=log⁡bc\log b - \log c = \log \frac{b}{c}

Sada jednačina glasi:

log⁡x=log⁡a+12log⁡bc\log x = \log a + \frac{1}{2} \log \frac{b}{c}

Primenjujemo osobinu logaritma stepena log⁡axs=slog⁡ax \log_a x^s = s \log_a x na drugi sabirak sa desne strane:

12log⁡bc=log⁡(bc)12=log⁡bc\frac{1}{2} \log \frac{b}{c} = \log \left( \frac{b}{c} \right)^{\frac{1}{2}} = \log \sqrt{\frac{b}{c}}

Zamenjujemo dobijeni izraz u jednačinu:

log⁡x=log⁡a+log⁡bc\log x = \log a + \log \sqrt{\frac{b}{c}}

Primenjujemo osobinu logaritma proizvoda log⁡axy=log⁡ax+log⁡ay \log_a xy = \log_a x + \log_a y na desnu stranu jednačine:

log⁡a+log⁡bc=log⁡(a⋅bc)\log a + \log \sqrt{\frac{b}{c}} = \log \left( a \cdot \sqrt{\frac{b}{c}} \right)

Jednačina sada ima oblik:

log⁡x=log⁡(abc)\log x = \log \left( a \sqrt{\frac{b}{c}} \right)

Pošto su logaritmi jednaki, njihovi argumenti moraju biti jednaki (antilogaritmovanje):

x=abcx = a \sqrt{\frac{b}{c}}