5552. Osnovne teoreme o izvodu

Po pravilu za izvod proizvoda važi $(fg)'=f'g+fg' .$ Po pravilu za izvod složene funkcije, ako je $y=f(x)$ diferencijabilna u tački $x ,$ a $z=g(y)$ u tački $y=f(x) ,$ onda je $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x) :$ izvod spoljašnje funkcije, računat u unutrašnjoj, puta izvod unutrašnje. Potkoreni izraz mora biti nenegativan, a pošto je $1+x^2>0 ,$ to znači $x\le1$ ; izvod tražimo za $x<1 .$

Označimo $w=\frac{1-x}{1+x^2} .$ Po pravilu za količnik $\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2} :$

w'=\frac{-(1+x^2)-(1-x)\cdot2x}{(1+x^2)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(1+x^2)^2}

Funkcija je $y=x\sqrt w ,$ pa je po pravilu za proizvod i za složenu funkciju:

y'=\sqrt w+x\cdot\frac{w'}{2\sqrt w}=\frac{2w+xw'}{2\sqrt w}

Računamo brojilac na zajedničkom imeniocu $(1+x^2)^2 :$

2w+xw'=\frac{2(1-x)(1+x^2)+x(x^2-2x-1)}{(1+x^2)^2}=\frac{2-3x-x^3}{(1+x^2)^2}

Pošto je $\frac1{\sqrt w}=\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x}} ,$ sređujemo:

y'=\frac{2-3x-x^3}{2(1+x^2)^2}\cdot\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x}}=\frac{2-3x-x^3}{2\sqrt{1-x}\,\sqrt{(1+x^2)^3}}

Provera: u tački $x=\frac12$ dobijena formula daje $y'(\frac12)\approx0{,}1897 .$ Količnik priraštaja za $\Delta x=0{,}0001$ je $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx0{,}1896 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Za $x<1$ je $y'=\frac{2-3x-x^3}{2\sqrt{1-x}\,\sqrt{(1+x^2)^3}} .$

Započni učenje

Online časovi

187.v

Beleške