Dokaz identiteta sa četvrtim stepenom kosinusa

Posmatrajmo levu stranu identiteta:

\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + \sin^4 \alpha}

U brojiocu grupišemo poslednja dva člana i izvučemo $-\cos^2 \alpha$ ispred zagrade, a u imeniocu grupišemo poslednja dva člana i izvučemo $-\sin^2 \alpha$ ispred zagrade:

\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha)}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha)}

Primenom osnovnog trigonometrijskog identiteta $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ,$ zamenjujemo $1 - \cos^2 \alpha$ sa $\sin^2 \alpha$ i $1 - \sin^2 \alpha$ sa $\cos^2 \alpha :$

\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}

Sada u brojiocu možemo izvući $\sin^2 \alpha$ kao zajednički faktor, a u imeniocu $\cos^2 \alpha :$

\frac{\sin^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha)}{\cos^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha)}

Ponovo primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet na izraze u zagradama i množimo dobijene faktore:

\frac{\sin^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha} = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^4 \alpha}

Na osnovu definicije tangensa $\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} ,$ izraz možemo zapisati kao:

\text{tg}^4 \alpha

Time smo pokazali da je leva strana jednaka desnoj, čime je identitet dokazan.

Započni učenje

Online časovi

927

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci