4264.

646.a

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz:

1+a1−x2⋅(a+x)2−(1+ax)2a2−a\frac{1+a}{1-x^2} \cdot \frac{(a+x)^2 - (1+ax)^2}{a^2-a}
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli:

1−x2≠0  ⟹  x≠±1a2−a≠0  ⟹  a(a−1)≠0  ⟹  a≠0,a≠1\begin{aligned} 1-x^2 &\neq 0 \implies x \neq \pm 1 \\ a^2-a &\neq 0 \implies a(a-1) \neq 0 \implies a \neq 0, a \neq 1 \end{aligned}

Faktorišemo imenilac prvog razlomka kao razliku kvadrata:

1−x2=(1−x)(1+x)1-x^2 = (1-x)(1+x)

Faktorišemo imenilac drugog razlomka izvlačenjem zajedničkog činioca:

a2−a=a(a−1)a^2-a = a(a-1)

Faktorišemo brojilac drugog razlomka koristeći formulu za razliku kvadrata A2−B2=(A−B)(A+B): A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) :

(a+x)2−(1+ax)2=((a+x)−(1+ax))((a+x)+(1+ax))(a+x)^2 - (1+ax)^2 = ((a+x) - (1+ax))((a+x) + (1+ax))

Sređujemo izraze u dobijenim zagradama grupisanjem članova:

((a+x)−(1+ax))((a+x)+(1+ax))=(a+x−1−ax)(a+x+1+ax)=((a−1)−x(a−1))((a+1)+x(a+1))=(a−1)(1−x)(a+1)(1+x)\begin{aligned} ((a+x) - (1+ax))((a+x) + (1+ax)) &= (a + x - 1 - ax)(a + x + 1 + ax) \\ &= ((a - 1) - x(a - 1))((a + 1) + x(a + 1)) \\ &= (a - 1)(1 - x)(a + 1)(1 + x) \end{aligned}

Zamenjujemo sve faktorisane delove nazad u početni izraz:

1+a(1−x)(1+x)⋅(a−1)(1−x)(a+1)(1+x)a(a−1)\frac{1+a}{(1-x)(1+x)} \cdot \frac{(a - 1)(1 - x)(a + 1)(1 + x)}{a(a - 1)}

Skraćujemo zajedničke činioce u brojiocu i imeniocu (1−x, 1-x , 1+x 1+x i a−1 a-1 ):

1+a1⋅a+1a\frac{1+a}{1} \cdot \frac{a+1}{a}

Množenjem preostalih članova dobijamo konačan uprošćen izraz:

(a+1)2a\frac{(a+1)^2}{a}