4246.

640.v

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći algebarski izraz i navedi uslove definisanosti:

(1b2−2ab+1a2)a3b2(a−b)3−a2b3(a+b)3(1b2+2ab+1a2)\left( \frac{1}{b^2} - \frac{2}{ab} + \frac{1}{a^2} \right) \frac{a^3b^2}{(a-b)^3} - \frac{a^2b^3}{(a+b)^3} \left( \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab} + \frac{1}{a^2} \right)
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Svi imenioci moraju biti različiti od nule. Iz imenilaca b2, b^2 , ab ab i a2 a^2 sledi da je a≠0 a \neq 0 i b≠0. b \neq 0 . Iz imenilaca (a−b)3 (a-b)^3 i (a+b)3 (a+b)^3 sledi da je a≠b a \neq b i a≠−b. a \neq -b .

a≠0,b≠0,a≠b,a≠−ba \neq 0, \quad b \neq 0, \quad a \neq b, \quad a \neq -b

Sređujemo izraze unutar zagrada svođenjem na zajednički imenilac a2b2 a^2b^2 i primenom formule za kvadrat binoma:

1b2−2ab+1a2=a2−2ab+b2a2b2=(a−b)2a2b21b2+2ab+1a2=a2+2ab+b2a2b2=(a+b)2a2b2\begin{aligned} \frac{1}{b^2} - \frac{2}{ab} + \frac{1}{a^2} &= \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2b^2} = \frac{(a-b)^2}{a^2b^2} \\ \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab} + \frac{1}{a^2} &= \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2b^2} = \frac{(a+b)^2}{a^2b^2} \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u početni izraz:

(a−b)2a2b2⋅a3b2(a−b)3−a2b3(a+b)3⋅(a+b)2a2b2\frac{(a-b)^2}{a^2b^2} \cdot \frac{a^3b^2}{(a-b)^3} - \frac{a^2b^3}{(a+b)^3} \cdot \frac{(a+b)^2}{a^2b^2}

Skraćujemo razlomke. U prvom članu skraćujemo a2b2 a^2b^2 i (a−b)2, (a-b)^2 , a u drugom članu skraćujemo a2b2 a^2b^2 i (a+b)2: (a+b)^2 :

aa−b−ba+b\frac{a}{a-b} - \frac{b}{a+b}

Oduzimamo dobijene razlomke svođenjem na zajednički imenilac (a−b)(a+b): (a-b)(a+b) :

a(a+b)−b(a−b)(a−b)(a+b)\frac{a(a+b) - b(a-b)}{(a-b)(a+b)}

Množimo članove u brojiocu i primenjujemo formulu za razliku kvadrata u imeniocu:

a2+ab−ab+b2a2−b2\frac{a^2 + ab - ab + b^2}{a^2 - b^2}

Sređivanjem brojioca dobijamo konačan rezultat:

a2+b2a2−b2\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}