4228.

637.a

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz:

a+b−ca−b+c⋅a2+b2−2ab−c2a2+2ab+b2−c2\frac{a+b-c}{a-b+c} \cdot \frac{a^2+b^2-2ab-c^2}{a^2+2ab+b^2-c^2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti. Imenioci razlomaka moraju biti različiti od nule:

a−b+c≠0ia2+2ab+b2−c2≠0a-b+c \neq 0 \quad \text{i} \quad a^2+2ab+b^2-c^2 \neq 0

Rastavljamo drugi imenilac na činioce prepoznavanjem kvadrata binoma i razlike kvadrata, kako bismo odredili preostale uslove:

(a+b)2−c2≠0(a+b−c)(a+b+c)≠0\begin{aligned} (a+b)^2-c^2 &\neq 0 \\ (a+b-c)(a+b+c) &\neq 0 \end{aligned}

Iz ovoga zaključujemo da mora važiti:

a+b−c≠0ia+b+c≠0a+b-c \neq 0 \quad \text{i} \quad a+b+c \neq 0

Sada prelazimo na uprošćavanje polaznog izraza. Grupišemo članove u brojiocu i imeniocu drugog razlomka kako bismo formirali kvadrate binoma.

a+b−ca−b+c⋅(a2−2ab+b2)−c2(a2+2ab+b2)−c2\frac{a+b-c}{a-b+c} \cdot \frac{(a^2-2ab+b^2)-c^2}{(a^2+2ab+b^2)-c^2}

Zapisujemo grupisane članove kao kvadrate binoma.

a+b−ca−b+c⋅(a−b)2−c2(a+b)2−c2\frac{a+b-c}{a-b+c} \cdot \frac{(a-b)^2-c^2}{(a+b)^2-c^2}

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata x2−y2=(x−y)(x+y) x^2-y^2=(x-y)(x+y) na brojilac i imenilac drugog razlomka.

a+b−ca−b+c⋅(a−b−c)(a−b+c)(a+b−c)(a+b+c)\frac{a+b-c}{a-b+c} \cdot \frac{(a-b-c)(a-b+c)}{(a+b-c)(a+b+c)}

Množimo razlomke i skraćujemo zajedničke činioce a+b−c a+b-c i a−b+c. a-b+c .

(a+b−c)(a−b+c)⋅(a−b−c)(a−b+c)(a+b−c)(a+b+c)\frac{\cancel{(a+b-c)}}{\cancel{(a-b+c)}} \cdot \frac{(a-b-c)\cancel{(a-b+c)}}{\cancel{(a+b-c)}(a+b+c)}

Zapisujemo konačan uprošćen izraz.

a−b−ca+b+c\frac{a-b-c}{a+b+c}