4226.

637.v

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz:

a2+ax5a2−5x2⋅5a3−5x3a2−ax\frac{a^2+ax}{5a^2-5x^2} \cdot \frac{5a^3-5x^3}{a^2-ax}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo odrediti uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli.

5a2−5x2≠0ia2−ax≠05a^2-5x^2 \neq 0 \quad \text{i} \quad a^2-ax \neq 0

Rastavljanjem imenioca na činioce dobijamo uslove:

5(a−x)(a+x)≠0ia(a−x)≠05(a-x)(a+x) \neq 0 \quad \text{i} \quad a(a-x) \neq 0

Iz ovoga zaključujemo da su uslovi definisanosti:

a≠0,a≠x,a≠−xa \neq 0, \quad a \neq x, \quad a \neq -x

Sada ćemo rastaviti na činioce brojioce i imenioce oba razlomka. Za prvi razlomak izvlačimo zajedničke činioce i primenjujemo razliku kvadrata:

a2+ax5a2−5x2=a(a+x)5(a2−x2)=a(a+x)5(a−x)(a+x)\frac{a^2+ax}{5a^2-5x^2} = \frac{a(a+x)}{5(a^2-x^2)} = \frac{a(a+x)}{5(a-x)(a+x)}

Za drugi razlomak izvlačimo zajedničke činioce i primenjujemo razliku kubova:

5a3−5x3a2−ax=5(a3−x3)a(a−x)=5(a−x)(a2+ax+x2)a(a−x)\frac{5a^3-5x^3}{a^2-ax} = \frac{5(a^3-x^3)}{a(a-x)} = \frac{5(a-x)(a^2+ax+x^2)}{a(a-x)}

Zamenjujemo rastavljene oblike nazad u početni izraz:

a(a+x)5(a−x)(a+x)⋅5(a−x)(a2+ax+x2)a(a−x)\frac{a(a+x)}{5(a-x)(a+x)} \cdot \frac{5(a-x)(a^2+ax+x^2)}{a(a-x)}

Množimo razlomke tako što množimo brojilac sa brojiocem i imenilac sa imeniocem:

a(a+x)⋅5(a−x)(a2+ax+x2)5(a−x)(a+x)⋅a(a−x)\frac{a(a+x) \cdot 5(a-x)(a^2+ax+x^2)}{5(a-x)(a+x) \cdot a(a-x)}

Grupišemo činioce kako bismo lakše uočili šta možemo da skratimo u brojiocu i imeniocu:

5a(a+x)(a−x)(a2+ax+x2)5a(a+x)(a−x)(a−x)\frac{5a(a+x)(a-x)(a^2+ax+x^2)}{5a(a+x)(a-x)(a-x)}

Nakon skraćivanja zajedničkog dela 5a(a+x)(a−x), 5a(a+x)(a-x) , dobijamo konačan uprošćen izraz:

a2+ax+x2a−x\frac{a^2+ax+x^2}{a-x}