4223.

635.g

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz:

(1y3−3xy2+3x2y−1x3)⋅x2y2x2−2xy+y2\left(\frac{1}{y^3} - \frac{3}{xy^2} + \frac{3}{x^2y} - \frac{1}{x^3}\right) \cdot \frac{x^2y^2}{x^2 - 2xy + y^2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo uslove pod kojima je izraz definisan. Imenioci svih razlomaka moraju biti različiti od nule.

x≠0,y≠0,x2−2xy+y2≠0x \neq 0, \quad y \neq 0, \quad x^2 - 2xy + y^2 \neq 0

Izraz x2−2xy+y2 x^2 - 2xy + y^2 predstavlja kvadrat binoma, pa se uslov može zapisati kao (x−y)2≠0, (x-y)^2 \neq 0 , odnosno x≠y. x \neq y . Konačni uslovi definisanosti su:

x≠0,y≠0,x≠yx \neq 0, \quad y \neq 0, \quad x \neq y

Svodimo razlomke u prvoj zagradi na zajednički imenilac. Zajednički imenilac za y3, y^3 , xy2, xy^2 , x2y x^2y i x3 x^3 je x3y3. x^3y^3 .

x3−3x2y+3xy2−y3x3y3⋅x2y2x2−2xy+y2\frac{x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3}{x^3y^3} \cdot \frac{x^2y^2}{x^2 - 2xy + y^2}

Prepoznajemo formulu za kub binoma u brojiocu prvog razlomka i formulu za kvadrat binoma u imeniocu drugog razlomka.

(x−y)3x3y3⋅x2y2(x−y)2\frac{(x-y)^3}{x^3y^3} \cdot \frac{x^2y^2}{(x-y)^2}

Množimo ova dva razlomka tako što množimo brojilac sa brojiocem, a imenilac sa imeniocem.

(x−y)3⋅x2y2x3y3⋅(x−y)2\frac{(x-y)^3 \cdot x^2y^2}{x^3y^3 \cdot (x-y)^2}

Skraćujemo razlomak. Delimo brojilac i imenilac sa x2y2 x^2y^2 i sa (x−y)2. (x-y)^2 .

x−yxy\frac{x-y}{xy}