Proizvod razlomaka sa x na 2 − 9 i x na 3 + 27

Prvo ćemo faktorisati imenioce i brojioca kako bismo lakše odredili uslove definisanosti i skratili razlomke. Koristimo formule za razliku kvadrata i zbir kubova:

\begin{aligned} x^2 - 9 &= (x - 3)(x + 3) \\ x^3 + 27 &= x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9) \end{aligned}

Određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli:

\begin{aligned} x^2 - 9 &\neq 0 \implies (x - 3)(x + 3) \neq 0 \implies x \neq 3 \text{ i } x \neq -3 \\ x^2 - 3x + 9 &\neq 0 \end{aligned}

Za kvadratni trinom $x^2 - 3x + 9$ računamo diskriminantu da bismo proverili da li može biti jednak nuli. Pošto je $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0 ,$ trinom nema realnih nula i uvek je pozitivan. Dakle, konačni uslovi definisanosti su:

x \neq 3 \quad \text{i} \quad x \neq -3

Zamenjujemo faktorisane oblike nazad u početni izraz:

\frac{x + 3}{(x - 3)(x + 3)} \cdot \frac{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)}{x^2 - 3x + 9}

Skraćujemo zajedničke činioce u brojiocu i imeniocu. U prvom razlomku skraćujemo $x + 3 ,$ a u drugom $x^2 - 3x + 9 :$

\frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x + 3}{1}

Množenjem preostalih delova dobijamo konačan uprošćen izraz:

\frac{x + 3}{x - 3}

Započni učenje

Online časovi

636.đ

Beleške