4222.

636.đ

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći racionalni algebarski izraz:

x+3x2−9⋅x3+27x2−3x+9\frac{x + 3}{x^2 - 9} \cdot \frac{x^3 + 27}{x^2 - 3x + 9}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo faktorisati imenioce i brojioca kako bismo lakše odredili uslove definisanosti i skratili razlomke. Koristimo formule za razliku kvadrata i zbir kubova:

x2−9=(x−3)(x+3)x3+27=x3+33=(x+3)(x2−3x+9)\begin{aligned} x^2 - 9 &= (x - 3)(x + 3) \\ x^3 + 27 &= x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9) \end{aligned}

Određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli:

x2−9≠0  ⟹  (x−3)(x+3)≠0  ⟹  x≠3 i x≠−3x2−3x+9≠0\begin{aligned} x^2 - 9 &\neq 0 \implies (x - 3)(x + 3) \neq 0 \implies x \neq 3 \text{ i } x \neq -3 \\ x^2 - 3x + 9 &\neq 0 \end{aligned}

Za kvadratni trinom x2−3x+9 x^2 - 3x + 9 računamo diskriminantu da bismo proverili da li može biti jednak nuli. Pošto je D=(−3)2−4⋅1⋅9=9−36=−27<0, D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0 , trinom nema realnih nula i uvek je pozitivan. Dakle, konačni uslovi definisanosti su:

x≠3ix≠−3x \neq 3 \quad \text{i} \quad x \neq -3

Zamenjujemo faktorisane oblike nazad u početni izraz:

x+3(x−3)(x+3)⋅(x+3)(x2−3x+9)x2−3x+9\frac{x + 3}{(x - 3)(x + 3)} \cdot \frac{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)}{x^2 - 3x + 9}

Skraćujemo zajedničke činioce u brojiocu i imeniocu. U prvom razlomku skraćujemo x+3, x + 3 , a u drugom x2−3x+9: x^2 - 3x + 9 :

1x−3⋅x+31\frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x + 3}{1}

Množenjem preostalih delova dobijamo konačan uprošćen izraz:

x+3x−3\frac{x + 3}{x - 3}