4221.

635.v

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz:

(1a+1b):(a+b)2+(1a+1b):(a+b)3\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) : (a + b)^2 + \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) : (a + b)^3
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli, a takođe ni izrazi kojima delimo ne smeju biti nula.

a≠0,b≠0,a+b≠0  ⟹  a≠−ba \neq 0, \quad b \neq 0, \quad a + b \neq 0 \implies a \neq -b

Sabiramo razlomke unutar zagrada nalaženjem zajedničkog imenioca, koji je ab: ab :

1a+1b=b+aab=a+bab\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab} = \frac{a + b}{ab}

Zamenjujemo dobijeni zbir nazad u početni izraz:

a+bab:(a+b)2+a+bab:(a+b)3\frac{a + b}{ab} : (a + b)^2 + \frac{a + b}{ab} : (a + b)^3

Deljenje menjamo množenjem sa recipročnom vrednošću:

a+bab⋅1(a+b)2+a+bab⋅1(a+b)3\frac{a + b}{ab} \cdot \frac{1}{(a + b)^2} + \frac{a + b}{ab} \cdot \frac{1}{(a + b)^3}

Skraćujemo razlomke sa a+b a + b (što je dozvoljeno jer prema uslovima definisanosti važi a+b≠0 a + b \neq 0 ):

1ab(a+b)+1ab(a+b)2\frac{1}{ab(a + b)} + \frac{1}{ab(a + b)^2}

Svodimo dobijene razlomke na zajednički imenilac, koji je ab(a+b)2. ab(a + b)^2 . Prvi razlomak proširujemo sa a+b: a + b :

a+bab(a+b)2+1ab(a+b)2\frac{a + b}{ab(a + b)^2} + \frac{1}{ab(a + b)^2}

Sabiramo brojioce i dobijamo konačan uprošćen izraz:

a+b+1ab(a+b)2\frac{a + b + 1}{ab(a + b)^2}