4220.

635.a

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz i odredi uslove pod kojima je definisan:

a−2a−4(4aa2−4+a6−3a+aa+2)\frac{a - 2}{a - 4} \left(\frac{4a}{a^2 - 4} + \frac{a}{6 - 3a} + \frac{a}{a + 2}\right)
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli:

a−4≠0  ⟹  a≠4a2−4≠0  ⟹  (a−2)(a+2)≠0  ⟹  a≠2,a≠−26−3a≠0  ⟹  3(2−a)≠0  ⟹  a≠2a+2≠0  ⟹  a≠−2\begin{aligned} a - 4 &\neq 0 \implies a \neq 4 \\ a^2 - 4 &\neq 0 \implies (a - 2)(a + 2) \neq 0 \implies a \neq 2, a \neq -2 \\ 6 - 3a &\neq 0 \implies 3(2 - a) \neq 0 \implies a \neq 2 \\ a + 2 &\neq 0 \implies a \neq -2 \end{aligned}

Dakle, uslovi definisanosti su a≠4, a \neq 4 , a≠2 a \neq 2 i a≠−2. a \neq -2 . Sada prelazimo na uprošćavanje izraza. Faktorišemo imenioce unutar zagrade:

a−2a−4(4a(a−2)(a+2)+a−3(a−2)+aa+2)\frac{a - 2}{a - 4} \left(\frac{4a}{(a - 2)(a + 2)} + \frac{a}{-3(a - 2)} + \frac{a}{a + 2}\right)

Sređujemo znak u drugom razlomku unutar zagrade izvlačenjem minusa ispred razlomka:

a−2a−4(4a(a−2)(a+2)−a3(a−2)+aa+2)\frac{a - 2}{a - 4} \left(\frac{4a}{(a - 2)(a + 2)} - \frac{a}{3(a - 2)} + \frac{a}{a + 2}\right)

Nalazimo najmanji zajednički sadržalac (NZS) za imenioce unutar zagrade, koji je 3(a−2)(a+2), 3(a - 2)(a + 2) , i svodimo razlomke na zajednički imenilac:

a−2a−4(4a⋅3−a(a+2)+a⋅3(a−2)3(a−2)(a+2))\frac{a - 2}{a - 4} \left( \frac{4a \cdot 3 - a(a + 2) + a \cdot 3(a - 2)}{3(a - 2)(a + 2)} \right)

Množimo i oslobađamo se zagrada u brojiocu:

a−2a−4(12a−a2−2a+3a2−6a3(a−2)(a+2))\frac{a - 2}{a - 4} \left( \frac{12a - a^2 - 2a + 3a^2 - 6a}{3(a - 2)(a + 2)} \right)

Sabiramo slične monome u brojiocu:

a−2a−4(2a2+4a3(a−2)(a+2))\frac{a - 2}{a - 4} \left( \frac{2a^2 + 4a}{3(a - 2)(a + 2)} \right)

Izvlačimo zajednički faktor 2a 2a u brojiocu:

a−2a−4⋅2a(a+2)3(a−2)(a+2)\frac{a - 2}{a - 4} \cdot \frac{2a(a + 2)}{3(a - 2)(a + 2)}

Skraćujemo razlomak sa a+2 a + 2 (što je dozvoljeno jer je a≠−2 a \neq -2 ):

a−2a−4⋅2a3(a−2)\frac{a - 2}{a - 4} \cdot \frac{2a}{3(a - 2)}

Množimo preostale razlomke i skraćujemo sa a−2 a - 2 (jer je a≠2 a \neq 2 ):

2a3(a−4)\frac{2a}{3(a - 4)}