4219.

636.b

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz i odredi uslove definisanosti:

1a+3⋅a3−9aa2+a\frac{1}{a + 3} \cdot \frac{a^3 - 9a}{a^2 + a}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Deljenje nulom nije dozvoljeno, pa imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli:

a+3≠0ia2+a≠0a + 3 \neq 0 \quad \text{i} \quad a^2 + a \neq 0

Rešavamo postavljene uslove. Iz prvog uslova direktno dobijamo a≠−3. a \neq -3 . Drugi imenilac faktorišemo izvlačenjem zajedničkog činioca:

a(a+1)≠0  ⟹  a≠0ia≠−1a(a + 1) \neq 0 \implies a \neq 0 \quad \text{i} \quad a \neq -1

Zapisujemo konačne uslove definisanosti izraza:

a∈R∖{−3,−1,0}a \in \mathbb{R} \setminus \{-3, -1, 0\}

Sada prelazimo na uprošćavanje izraza. Faktorišemo brojilac drugog razlomka tako što izvlačimo zajednički činilac a, a , a zatim primenjujemo formulu za razliku kvadrata:

a3−9a=a(a2−9)=a(a−3)(a+3)a^3 - 9a = a(a^2 - 9) = a(a - 3)(a + 3)

U imeniocu drugog razlomka takođe izvlačimo zajednički činilac a: a :

a2+a=a(a+1)a^2 + a = a(a + 1)

Zamenjujemo dobijene faktorisane oblike nazad u početni izraz:

1a+3⋅a(a−3)(a+3)a(a+1)\frac{1}{a + 3} \cdot \frac{a(a - 3)(a + 3)}{a(a + 1)}

Množimo razlomke i skraćujemo zajedničke činioce a a i a+3 a + 3 iz brojioca i imenioca (što smemo da uradimo jer smo obezbedili uslove definisanosti):

a(a−3)(a+3)a(a+3)(a+1)=a(a−3)(a+3)a(a+3)(a+1)\frac{a(a - 3)(a + 3)}{a(a + 3)(a + 1)} = \frac{\cancel{a}(a - 3)\cancel{(a + 3)}}{\cancel{a}\cancel{(a + 3)}(a + 1)}

Zapisujemo konačan uprošćen izraz:

a−3a+1\frac{a - 3}{a + 1}