4218.

636.d

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz i navedi uslove definisanosti:

(x2−y2):x3+y3x2−xy+y2(x^2 - y^2) : \frac{x^3 + y^3}{x^2 - xy + y^2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenilac razlomka ne sme biti jednak nuli, a takođe ni ceo izraz kojim delimo ne sme biti nula.

{x2−xy+y2≠0x3+y3≠0\begin{cases} x^2 - xy + y^2 \neq 0 \\ x^3 + y^3 \neq 0 \end{cases}

Faktorišemo zbir kubova x3+y3 x^3 + y^3 kako bismo precizirali uslove. Izraz x2−xy+y2 x^2 - xy + y^2 je uvek pozitivan za realne brojeve (osim za x=y=0 x=y=0 ), pa je glavni uslov definisanosti da zbir x+y x+y nije nula.

x+y≠0  ⟹  x≠−yx + y \neq 0 \implies x \neq -y

Prelazimo na uprošćavanje izraza. Operaciju deljenja zamenjujemo množenjem sa recipročnom vrednošću razlomka.

(x2−y2)⋅x2−xy+y2x3+y3(x^2 - y^2) \cdot \frac{x^2 - xy + y^2}{x^3 + y^3}

Primenjujemo formule za razliku kvadrata na x2−y2 x^2 - y^2 i zbir kubova na x3+y3. x^3 + y^3 .

(x−y)(x+y)⋅x2−xy+y2(x+y)(x2−xy+y2)(x-y)(x+y) \cdot \frac{x^2 - xy + y^2}{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}

Skraćujemo iste činioce u brojiocu i imeniocu. S obzirom na uslove definisanosti, možemo skratiti x+y x+y i x2−xy+y2. x^2 - xy + y^2 .

x−yx - y