4202.

626.đ

TEKST ZADATKA

Uprostiti racionalni algebarski izraz i odrediti uslove pod kojima je on definisan:

yx+xy−x+yx−y\frac{y}{x} + \frac{x}{y} - \frac{x+y}{x-y}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenilac svakog razlomka mora biti različit od nule.

x≠0,y≠0,x−y≠0  ⟹  x≠yx \neq 0, \quad y \neq 0, \quad x - y \neq 0 \implies x \neq y

Da bismo sabrali i oduzeli razlomke, moramo ih svesti na zajednički imenilac. Najmanji zajednički sadržalac za imenioce x, x , y y i x−y x-y je xy(x−y). xy(x-y) .

y⋅y(x−y)+x⋅x(x−y)−(x+y)⋅xyxy(x−y)\frac{y \cdot y(x-y) + x \cdot x(x-y) - (x+y) \cdot xy}{xy(x-y)}

Sada vršimo množenje u brojocu kako bismo oslobodili zagrade.

y2(x−y)+x2(x−y)−xy(x+y)xy(x−y)=xy2−y3+x3−x2y−x2y−xy2xy(x−y)\frac{y^2(x-y) + x^2(x-y) - xy(x+y)}{xy(x-y)} = \frac{xy^2 - y^3 + x^3 - x^2y - x^2y - xy^2}{xy(x-y)}

Sređujemo brojilac grupisanjem i sabiranjem sličnih članova. Primetimo da se xy2 xy^2 i −xy2 -xy^2 potiru.

x3−2x2y−y3xy(x−y)\frac{x^3 - 2x^2y - y^3}{xy(x-y)}

Konačan oblik izraza uz navedene uslove je:

x3−2x2y−y3xy(x−y),x≠0,y≠0,x≠y\frac{x^3 - 2x^2y - y^3}{xy(x-y)}, \quad x \neq 0, y \neq 0, x \neq y