4201.

628.d

TEKST ZADATKA

Uprostiti racionalni izraz i odrediti uslove definisanosti:

\frac{x}{x^2-y^2} - rac{y}{(y-x)^2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenitelji ne smeju biti jednaki nuli. Iz x2−y2≠0 x^2 - y^2 \neq 0 sledi (x−y)(x+y)≠0, (x-y)(x+y) \neq 0 , a iz (y−x)2≠0 (y-x)^2 \neq 0 sledi y−x≠0. y-x \neq 0 .

x≠y,x≠−yx \neq y, \quad x \neq -y

Rastavljamo imenitelje na činioce kako bismo lakše pronašli najmanji zajednički sadržalac. Primetimo da je (y−x)2=(−(x−y))2=(x−y)2. (y-x)^2 = (-(x-y))^2 = (x-y)^2 .

x(x−y)(x+y)−y(x−y)2\frac{x}{(x-y)(x+y)} - \frac{y}{(x-y)^2}

Najmanji zajednički sadržalac za imenitelje je (x−y)2(x+y). (x-y)^2(x+y) . Proširujemo razlomke kako bismo ih sveli na zajednički imenitelj.

x(x−y)−y(x+y)(x−y)2(x+y)\frac{x(x-y) - y(x+y)}{(x-y)^2(x+y)}

Sređujemo brojilac množenjem i grupisanjem članova.

x2−xy−yx−y2(x−y)2(x+y)=x2−2xy−y2(x−y)2(x+y)\frac{x^2 - xy - yx - y^2}{(x-y)^2(x+y)} = \frac{x^2 - 2xy - y^2}{(x-y)^2(x+y)}

Konačan oblik uprošćenog izraza uz navedene uslove je:

x2−2xy−y2(x−y)2(x+y),x≠±y\frac{x^2 - 2xy - y^2}{(x-y)^2(x+y)}, \quad x \neq \pm y