4194.

627.a

TEKST ZADATKA

Uprostiti racionalni algebarski izraz i odrediti uslove pod kojima je definisan:

1a2−b2+1a2−2ab+b2\frac{1}{a^2-b^2} + \frac{1}{a^2-2ab+b^2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo vršimo faktorizaciju imenilaca koristeći formulu za razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b) a^2-b^2 = (a-b)(a+b) i formulu za kvadrat binoma a2−2ab+b2=(a−b)2. a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2 .

1(a−b)(a+b)+1(a−b)2\frac{1}{(a-b)(a+b)} + \frac{1}{(a-b)^2}

Određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli.

a−b≠0  ⟹  a≠ba+b≠0  ⟹  a≠−ba-b \neq 0 \implies a \neq b \\ a+b \neq 0 \implies a \neq -b

Nalazimo najmanji zajednički sadržalac (NZS) za imenioce (a−b)(a+b) (a-b)(a+b) i (a−b)2, (a-b)^2 , što je (a−b)2(a+b), (a-b)^2(a+b) , a zatim proširujemo razlomke.

1⋅(a−b)(a−b)2(a+b)+1⋅(a+b)(a−b)2(a+b)\frac{1 \cdot (a-b)}{(a-b)^2(a+b)} + \frac{1 \cdot (a+b)}{(a-b)^2(a+b)}

Svodimo na zajednički imenilac i sabiramo brojioce.

(a−b)+(a+b)(a−b)2(a+b)\frac{(a-b) + (a+b)}{(a-b)^2(a+b)}

Sređujemo izraz u brojiocu uklanjanjem zagrada i grupisanjem članova.

a−b+a+b(a−b)2(a+b)=2a(a−b)2(a+b)\frac{a - b + a + b}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{2a}{(a-b)^2(a+b)}

Konačan rezultat uz navedene uslove.

2a(a−b)2(a+b),a≠b, a≠−b\frac{2a}{(a-b)^2(a+b)}, \quad a \neq b, \, a \neq -b