4193.

630.a

TEKST ZADATKA

Uprostiti racionalni izraz i odrediti uslove definisanosti:

\frac{x+1}{ax-2x-3a+6} - rac{2+a}{a^2-4}
REŠENJE ZADATKA

Prvo vršimo faktorizaciju imenilaca oba razlomka kako bismo lakše odredili zajednički imenilac i uslove definisanosti. Kod prvog imenioca koristimo grupisanje članova, a kod drugog razliku kvadrata.

ax−2x−3a+6=x(a−2)−3(a−2)=(x−3)(a−2)a2−4=(a−2)(a+2)ax-2x-3a+6 = x(a-2) - 3(a-2) = (x-3)(a-2) \\ a^2-4 = (a-2)(a+2)

Sada postavljamo uslove definisanosti izraza. Imenilac ne sme biti nula.

x−3≠0  ⟹  x≠3a−2≠0  ⟹  a≠2a+2≠0  ⟹  a≠−2x-3 \neq 0 \implies x \neq 3 \\ a-2 \neq 0 \implies a \neq 2 \\ a+2 \neq 0 \implies a \neq -2

Zamenjujemo faktorisane oblike u početni izraz i skraćujemo drugi razlomak ako je moguće. Primećujemo da je 2+a(a−2)(a+2)=a+2(a−2)(a+2). \frac{2+a}{(a-2)(a+2)} = \frac{a+2}{(a-2)(a+2)} .

x+1(x−3)(a−2)−a+2(a−2)(a+2)\frac{x+1}{(x-3)(a-2)} - \frac{a+2}{(a-2)(a+2)}

Skraćivanjem faktora a+2 a+2 u drugom razlomku (uz uslov a≠−2 a \neq -2 ), dobijamo jednostavniji izraz.

x+1(x−3)(a−2)−1a−2\frac{x+1}{(x-3)(a-2)} - \frac{1}{a-2}

Sada dovodimo razlomke na zajednički imenilac, koji je (x−3)(a−2). (x-3)(a-2) . Drugi razlomak proširujemo sa x−3. x-3 .

x+1−1⋅(x−3)(x−3)(a−2)\frac{x+1 - 1 \cdot (x-3)}{(x-3)(a-2)}

Sređujemo brojilac oslobađanjem od zagrada i sabiranjem sličnih članova.

x+1−x+3(x−3)(a−2)=4(x−3)(a−2)\frac{x+1-x+3}{(x-3)(a-2)} = \frac{4}{(x-3)(a-2)}

Konačan rezultat uz navedene uslove definisanosti je:

4(x−3)(a−2),x≠3,a≠2,a≠−2\frac{4}{(x-3)(a-2)}, \quad x \neq 3, a \neq 2, a \neq -2