4192.

626.d

TEKST ZADATKA

Uprostiti racionalni algebarski izraz:

\frac{2}{x+y} - \frac{3}{x-y} + rac{1}{x}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenilac svakog razlomka mora biti različit od nule.

x+y≠0  ⟹  x≠−yx−y≠0  ⟹  x≠yx≠0x + y \neq 0 \implies x \neq -y \\ x - y \neq 0 \implies x \neq y \\ x \neq 0

Da bismo sabrali i oduzeli razlomke, moramo ih svesti na najmanji zajednički sadržalac (NZS). NZS za imenioce x+y, x+y , x−y x-y i x x je:

V=x(x+y)(x−y)=x(x2−y2)V = x(x+y)(x-y) = x(x^2 - y^2)

Proširujemo svaki razlomak tako da dobiju zajednički imenilac:

2⋅x(x−y)−3⋅x(x+y)+1⋅(x+y)(x−y)x(x+y)(x−y)\frac{2 \cdot x(x-y) - 3 \cdot x(x+y) + 1 \cdot (x+y)(x-y)}{x(x+y)(x-y)}

Sređujemo brojilac množenjem i oslobađanjem zagrada:

2x2−2xy−3x2−3xy+x2−y2x(x2−y2)\frac{2x^2 - 2xy - 3x^2 - 3xy + x^2 - y^2}{x(x^2 - y^2)}

Grupišemo slične članove u brojiocu:

(2x2−3x2+x2)+(−2xy−3xy)−y2x(x2−y2)\frac{(2x^2 - 3x^2 + x^2) + (-2xy - 3xy) - y^2}{x(x^2 - y^2)}

Računamo vrednosti u zagradama. Primećujemo da se članovi sa x2 x^2 potiru jer je 2−3+1=0: 2-3+1=0 :

0x2−5xy−y2x(x2−y2)=−5xy−y2x(x2−y2)\frac{0x^2 - 5xy - y^2}{x(x^2 - y^2)} = \frac{-5xy - y^2}{x(x^2 - y^2)}

Možemo izvući zajednički faktor −y -y u brojiocu radi lepšeg zapisa:

−y(5x+y)x(x2−y2)\frac{-y(5x + y)}{x(x^2 - y^2)}

Konačan oblik uprošćenog izraza uz navedene uslove je:

−5xy−y2x(x2−y2),x≠0,x≠y,x≠−y\frac{-5xy - y^2}{x(x^2 - y^2)}, \quad x \neq 0, x \neq y, x \neq -y