4173.

632.g

TEKST ZADATKA

Srediti dati izraz i odrediti uslove definisanosti:

[1−2ab(a+b)2]⋅1a2+b2\left[1 - \frac{2ab}{(a+b)^2}\right] \cdot \frac{1}{a^2+b^2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenilac ne sme biti nula.

(a+b)2≠0  ⟹  a+b≠0  ⟹  a≠−ba2+b2≠0(a+b)^2 \neq 0 \implies a+b \neq 0 \implies a \neq -b \\ a^2 + b^2 \neq 0

Sređujemo izraz unutar zagrade nalaženjem zajedničkog imenioca.

1−2ab(a+b)2=(a+b)2−2ab(a+b)21 - \frac{2ab}{(a+b)^2} = \frac{(a+b)^2 - 2ab}{(a+b)^2}

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 u brojocu.

a2+2ab+b2−2ab(a+b)2=a2+b2(a+b)2\frac{a^2 + 2ab + b^2 - 2ab}{(a+b)^2} = \frac{a^2 + b^2}{(a+b)^2}

Sada dobijeni rezultat iz zagrade množimo sa drugim delom početnog izraza.

a2+b2(a+b)2⋅1a2+b2\frac{a^2 + b^2}{(a+b)^2} \cdot \frac{1}{a^2 + b^2}

Skraćujemo zajednički faktor a2+b2 a^2 + b^2 u brojocu i imeniocu.

a2+b2(a+b)2⋅1a2+b2=1(a+b)2\frac{\cancel{a^2 + b^2}}{(a+b)^2} \cdot \frac{1}{\cancel{a^2 + b^2}} = \frac{1}{(a+b)^2}

Konačan rezultat uz navedene uslove.

1(a+b)2,a≠−b, a2+b2≠0\frac{1}{(a+b)^2}, \quad a \neq -b, \, a^2+b^2 \neq 0