4160. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz: $\frac{1}{x+y} + \frac{2}{2a+2b} - \frac{x+b}{ax+ay+bx+by}$

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti imenioce na činioce kako bismo lakše odredili zajednički imenilac i uslove definisanosti.

ax+ay+bx+by = a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y)

Sada možemo zapisati ceo izraz sa faktorizovanim imeniocima:

\frac{1}{x+y} + \frac{2}{2(a+b)} - \frac{x+b}{(a+b)(x+y)}

Određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci ne smeju biti nula:

x+y \neq 0 \implies x \neq -y \\ a+b \neq 0 \implies a \neq -b

Skraćujemo drugi razlomak brojem 2 i tražimo najmanji zajednički sadržalac za imenioce, što je $(a+b)(x+y) .$ Proširujemo razlomke:

\frac{1 \cdot (a+b)}{(a+b)(x+y)} + \frac{1 \cdot (x+y)}{(a+b)(x+y)} - \frac{x+b}{(a+b)(x+y)}

Svodimo sve na zajedničku razlomačku crtu i sređujemo brojilac:

\frac{(a+b) + (x+y) - (x+b)}{(a+b)(x+y)}

Oslobađamo se zagrada u brojiocu i vršimo sabiranje i oduzimanje sličnih članova:

\frac{a + b + x + y - x - b}{(a+b)(x+y)} = \frac{a + y}{(a+b)(x+y)}

Konačan uprošćen izraz uz navedene uslove je:

\frac{a+y}{(a+b)(x+y)}, \quad x \neq -y, \ a \neq -b

630.v