4155.

632.đ

TEKST ZADATKA

Srediti dati izraz i odrediti uslove definisanosti: 6x−34x⋅(2x+12x−1−2x−12x+1) \frac{6x-3}{4x} \cdot \left(\frac{2x+1}{2x-1} - \frac{2x-1}{2x+1}\right)

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenitelji svih razlomaka moraju biti različiti od nule.

4x≠0  ⟹  x≠02x−1≠0  ⟹  x≠122x+1≠0  ⟹  x≠−124x \neq 0 \implies x \neq 0 \\ 2x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2} \\ 2x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}

Sređujemo izraz u zagradi nalaženjem zajedničkog imenitelja, što je razlika kvadrata (2x−1)(2x+1). (2x-1)(2x+1) .

2x+12x−1−2x−12x+1=(2x+1)2−(2x−1)2(2x−1)(2x+1)\frac{2x+1}{2x-1} - \frac{2x-1}{2x+1} = \frac{(2x+1)^2 - (2x-1)^2}{(2x-1)(2x+1)}

Razvijamo kvadrate binoma u brojocu.

(4x2+4x+1)−(4x2−4x+1)(2x−1)(2x+1)=4x2+4x+1−4x2+4x−1(2x−1)(2x+1)\frac{(4x^2 + 4x + 1) - (4x^2 - 4x + 1)}{(2x-1)(2x+1)} = \frac{4x^2 + 4x + 1 - 4x^2 + 4x - 1}{(2x-1)(2x+1)}

Sređivanjem brojioca dobijamo jednostavniji oblik izraza u zagradi.

8x(2x−1)(2x+1)\frac{8x}{(2x-1)(2x+1)}

Sada množimo prvi razlomak sa dobijenim rezultatom. U prvom razlomku izvlačimo zajednički faktor 3 ispred zagrade.

3(2x−1)4x⋅8x(2x−1)(2x+1)\frac{3(2x-1)}{4x} \cdot \frac{8x}{(2x-1)(2x+1)}

Vršimo skraćivanje izraza (2x−1) (2x-1) i promenljive x, x , kao i brojeva 8 i 4.

3⋅(2x−1)4⋅x⋅82⋅x(2x−1)(2x+1)=3⋅22x+1\frac{3 \cdot \cancel{(2x-1)}}{\cancel{4} \cdot \cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{8}^2 \cdot \cancel{x}}{\cancel{(2x-1)}(2x+1)} = \frac{3 \cdot 2}{2x+1}

Konačan sređen oblik izraza uz navedene uslove.

62x+1,x∈R∖{−12,0,12}\frac{6}{2x+1}, \quad x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2} \right\}