4155. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

TEKST ZADATKA

Srediti dati izraz i odrediti uslove definisanosti: $\frac{6x-3}{4x} \cdot \left(\frac{2x+1}{2x-1} - \frac{2x-1}{2x+1}\right)$

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenitelji svih razlomaka moraju biti različiti od nule.

4x \neq 0 \implies x \neq 0 \\ 2x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2} \\ 2x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}

Sređujemo izraz u zagradi nalaženjem zajedničkog imenitelja, što je razlika kvadrata $(2x-1)(2x+1) .$

\frac{2x+1}{2x-1} - \frac{2x-1}{2x+1} = \frac{(2x+1)^2 - (2x-1)^2}{(2x-1)(2x+1)}

Razvijamo kvadrate binoma u brojocu.

\frac{(4x^2 + 4x + 1) - (4x^2 - 4x + 1)}{(2x-1)(2x+1)} = \frac{4x^2 + 4x + 1 - 4x^2 + 4x - 1}{(2x-1)(2x+1)}

Sređivanjem brojioca dobijamo jednostavniji oblik izraza u zagradi.

\frac{8x}{(2x-1)(2x+1)}

Sada množimo prvi razlomak sa dobijenim rezultatom. U prvom razlomku izvlačimo zajednički faktor 3 ispred zagrade.

\frac{3(2x-1)}{4x} \cdot \frac{8x}{(2x-1)(2x+1)}

Vršimo skraćivanje izraza $(2x-1)$ i promenljive $x ,$ kao i brojeva 8 i 4.

\frac{3 \cdot \cancel{(2x-1)}}{\cancel{4} \cdot \cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{8}^2 \cdot \cancel{x}}{\cancel{(2x-1)}(2x+1)} = \frac{3 \cdot 2}{2x+1}

Konačan sređen oblik izraza uz navedene uslove.

\frac{6}{2x+1}, \quad x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2} \right\}

632.đ