4152.

630.ž

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

(a−3)2a2−a−12+5aa2−9−16a−63(a−4)(a−3)(a+3)\frac{(a-3)^2}{a^2-a-12} + \frac{5a}{a^2-9} - \frac{16a-63}{(a-4)(a-3)(a+3)}
REŠENJE ZADATKA

Prvo rastavljamo imenioce na činioce kako bismo odredili uslove definisanosti i zajednički imenilac.

a2−a−12=a2−4a+3a−12=a(a−4)+3(a−4)=(a−4)(a+3)a2−9=(a−3)(a+3)a^2-a-12 = a^2-4a+3a-12 = a(a-4)+3(a-4) = (a-4)(a+3) \\ a^2-9 = (a-3)(a+3)

Određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci ne smeju biti nula.

a−4≠0  ⟹  a≠4a+3≠0  ⟹  a≠−3a−3≠0  ⟹  a≠3a-4 \neq 0 \implies a \neq 4 \\ a+3 \neq 0 \implies a \neq -3 \\ a-3 \neq 0 \implies a \neq 3

Zapisujemo izraz sa rastavljenim imeniocima:

(a−3)2(a−4)(a+3)+5a(a−3)(a+3)−16a−63(a−4)(a−3)(a+3)\frac{(a-3)^2}{(a-4)(a+3)} + \frac{5a}{(a-3)(a+3)} - \frac{16a-63}{(a-4)(a-3)(a+3)}

Svodimo razlomke na zajednički imenilac (a−4)(a−3)(a+3): (a-4)(a-3)(a+3) :

(a−3)2(a−3)+5a(a−4)−(16a−63)(a−4)(a−3)(a+3)\frac{(a-3)^2(a-3) + 5a(a-4) - (16a-63)}{(a-4)(a-3)(a+3)}

Sređujemo brojilac:

(a−3)3+5a2−20a−16a+63(a−4)(a−3)(a+3)=a3−9a2+27a−27+5a2−36a+63(a−4)(a−3)(a+3)\frac{(a-3)^3 + 5a^2 - 20a - 16a + 63}{(a-4)(a-3)(a+3)} = \frac{a^3 - 9a^2 + 27a - 27 + 5a^2 - 36a + 63}{(a-4)(a-3)(a+3)}

Grupišemo članove u brojiocu:

a3−4a2−9a+36(a−4)(a−3)(a+3)\frac{a^3 - 4a^2 - 9a + 36}{(a-4)(a-3)(a+3)}

Rastavljamo brojilac na činioce metodom grupisanja:

a3−4a2−9a+36=a2(a−4)−9(a−4)=(a−4)(a2−9)=(a−4)(a−3)(a+3)a^3 - 4a^2 - 9a + 36 = a^2(a-4) - 9(a-4) = (a-4)(a^2-9) = (a-4)(a-3)(a+3)

Vraćamo rastavljeni brojilac u izraz i vršimo skraćivanje:

(a−4)(a−3)(a+3)(a−4)(a−3)(a+3)=1\frac{(a-4)(a-3)(a+3)}{(a-4)(a-3)(a+3)} = 1

Konačno rešenje uz navedene uslove:

1,a∈R∖{−3,3,4}1, \quad a \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 3, 4\}