4151. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz: $\frac{2m}{m^2-6m+9} - \frac{2m}{m^2-9} + \frac{1}{m+3}$

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti imenioce na činioce kako bismo odredili uslove definisanosti i zajednički imenilac. Primetimo da je $m^2-6m+9$ kvadrat binoma, a $m^2-9$ razlika kvadrata.

m^2-6m+9 = (m-3)^2 \\ m^2-9 = (m-3)(m+3)

Određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli.

(m-3)^2 \neq 0 \implies m \neq 3 \\ (m-3)(m+3) \neq 0 \implies m \neq 3 \text{ i } m \neq -3 \\ m+3 \neq 0 \implies m \neq -3

Dakle, uslov definisanosti je:

m \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}

Sada zapisujemo izraz sa rastavljenim imeniocima:

\frac{2m}{(m-3)^2} - \frac{2m}{(m-3)(m+3)} + \frac{1}{m+3}

Najmanji zajednički sadržalac za imenioce je $(m-3)^2(m+3) .$ Proširujemo razlomke kako bismo ih sveli na zajednički imenilac.

\frac{2m(m+3) - 2m(m-3) + 1(m-3)^2}{(m-3)^2(m+3)}

Sređujemo brojilac množenjem i kvadriranjem binoma:

\frac{2m^2 + 6m - (2m^2 - 6m) + (m^2 - 6m + 9)}{(m-3)^2(m+3)}

Oslobađamo se zagrada i sabiramo slične članove u brojiocu:

\frac{2m^2 + 6m - 2m^2 + 6m + m^2 - 6m + 9}{(m-3)^2(m+3)}

Nakon skraćivanja $2m^2 - 2m^2$ i $6m - 6m ,$ u brojiocu ostaje:

\frac{m^2 + 6m + 9}{(m-3)^2(m+3)}

Prepoznajemo da je brojilac ponovo kvadrat binoma $(m+3)^2 :$

\frac{(m+3)^2}{(m-3)^2(m+3)}

Skraćujemo izraz sa $(m+3) ,$ uzimajući u obzir prethodno definisane uslove:

\frac{m+3}{(m-3)^2}

630.e