4151.

630.e

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz: 2mm2−6m+9−2mm2−9+1m+3 \frac{2m}{m^2-6m+9} - \frac{2m}{m^2-9} + \frac{1}{m+3}

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti imenioce na činioce kako bismo odredili uslove definisanosti i zajednički imenilac. Primetimo da je m2−6m+9 m^2-6m+9 kvadrat binoma, a m2−9 m^2-9 razlika kvadrata.

m2−6m+9=(m−3)2m2−9=(m−3)(m+3)m^2-6m+9 = (m-3)^2 \\ m^2-9 = (m-3)(m+3)

Određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli.

(m−3)2≠0  ⟹  m≠3(m−3)(m+3)≠0  ⟹  m≠3 i m≠−3m+3≠0  ⟹  m≠−3(m-3)^2 \neq 0 \implies m \neq 3 \\ (m-3)(m+3) \neq 0 \implies m \neq 3 \text{ i } m \neq -3 \\ m+3 \neq 0 \implies m \neq -3

Dakle, uslov definisanosti je:

m∈R∖{−3,3}m \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}

Sada zapisujemo izraz sa rastavljenim imeniocima:

2m(m−3)2−2m(m−3)(m+3)+1m+3\frac{2m}{(m-3)^2} - \frac{2m}{(m-3)(m+3)} + \frac{1}{m+3}

Najmanji zajednički sadržalac za imenioce je (m−3)2(m+3). (m-3)^2(m+3) . Proširujemo razlomke kako bismo ih sveli na zajednički imenilac.

2m(m+3)−2m(m−3)+1(m−3)2(m−3)2(m+3)\frac{2m(m+3) - 2m(m-3) + 1(m-3)^2}{(m-3)^2(m+3)}

Sređujemo brojilac množenjem i kvadriranjem binoma:

2m2+6m−(2m2−6m)+(m2−6m+9)(m−3)2(m+3)\frac{2m^2 + 6m - (2m^2 - 6m) + (m^2 - 6m + 9)}{(m-3)^2(m+3)}

Oslobađamo se zagrada i sabiramo slične članove u brojiocu:

2m2+6m−2m2+6m+m2−6m+9(m−3)2(m+3)\frac{2m^2 + 6m - 2m^2 + 6m + m^2 - 6m + 9}{(m-3)^2(m+3)}

Nakon skraćivanja 2m2−2m2 2m^2 - 2m^2 i 6m−6m, 6m - 6m , u brojiocu ostaje:

m2+6m+9(m−3)2(m+3)\frac{m^2 + 6m + 9}{(m-3)^2(m+3)}

Prepoznajemo da je brojilac ponovo kvadrat binoma (m+3)2: (m+3)^2 :

(m+3)2(m−3)2(m+3)\frac{(m+3)^2}{(m-3)^2(m+3)}

Skraćujemo izraz sa (m+3), (m+3) , uzimajući u obzir prethodno definisane uslove:

m+3(m−3)2\frac{m+3}{(m-3)^2}