4138.

628.d

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz:

\frac{x}{x^2-y^2} - rac{y}{(y-x)^2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati imenioce. Primetimo da je x2−y2 x^2 - y^2 razlika kvadrata, a da je (y−x)2 (y-x)^2 isto što i (x−y)2 (x-y)^2 jer kvadrat neutrališe promenu znaka.

x2−y2=(x−y)(x+y)(y−x)2=(−(x−y))2=(x−y)2x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \\ (y-x)^2 = (-(x-y))^2 = (x-y)^2

Sada uvrštavamo transformisane imenioce u početni izraz:

x(x−y)(x+y)−y(x−y)2\frac{x}{(x-y)(x+y)} - \frac{y}{(x-y)^2}

Da bismo oduzeli razlomke, moramo ih svesti na najmanji zajednički imenilac, koji je u ovom slučaju (x−y)2(x+y). (x-y)^2(x+y) . Prvi razlomak proširujemo sa (x−y), (x-y) , a drugi sa (x+y). (x+y) .

x(x−y)(x−y)2(x+y)−y(x+y)(x−y)2(x+y)\frac{x(x-y)}{(x-y)^2(x+y)} - \frac{y(x+y)}{(x-y)^2(x+y)}

Sada možemo zapisati sve pod jednu razlomačku crtu i srediti brojilac:

x(x−y)−y(x+y)(x−y)2(x+y)=x2−xy−xy−y2(x−y)2(x+y)\frac{x(x-y) - y(x+y)}{(x-y)^2(x+y)} = \frac{x^2 - xy - xy - y^2}{(x-y)^2(x+y)}

Sređivanjem sličnih članova u brojiocu dobijamo konačan oblik izraza:

x2−2xy−y2(x−y)2(x+y)\frac{x^2 - 2xy - y^2}{(x-y)^2(x+y)}