4124.

630.b

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz:

1+3x2x2+3x−2−2x−13x2+7x+2\frac{1+3x}{2x^2+3x-2} - \frac{2x-1}{3x^2+7x+2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo rastavljamo imenioce na činioce koristeći formulu za kvadratni trinom ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2). ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2) . Za prvi imenilac 2x2+3x−2, 2x^2+3x-2 , nule su x1=12 x_1 = \frac{1}{2} i x2=−2. x_2 = -2 .

2x2+3x−2=2(x−12)(x+2)=(2x−1)(x+2)2x^2+3x-2 = 2(x - \frac{1}{2})(x + 2) = (2x - 1)(x + 2)

Za drugi imenilac 3x2+7x+2, 3x^2+7x+2 , nule su x1=−13 x_1 = -\frac{1}{3} i x2=−2. x_2 = -2 .

3x2+7x+2=3(x+13)(x+2)=(3x+1)(x+2)3x^2+7x+2 = 3(x + \frac{1}{3})(x + 2) = (3x + 1)(x + 2)

Zamenjujemo rastavljene imenioce u početni izraz:

1+3x(2x−1)(x+2)−2x−1(3x+1)(x+2)\frac{1+3x}{(2x-1)(x+2)} - \frac{2x-1}{(3x+1)(x+2)}

Svodimo razlomke na najmanji zajednički imenilac, koji je (2x−1)(x+2)(3x+1). (2x-1)(x+2)(3x+1) . Proširujemo prvi razlomak sa (3x+1), (3x+1) , a drugi sa (2x−1). (2x-1) .

(1+3x)(3x+1)−(2x−1)(2x−1)(2x−1)(x+2)(3x+1)\frac{(1+3x)(3x+1) - (2x-1)(2x-1)}{(2x-1)(x+2)(3x+1)}

Kvadriramo binome u brojocu:

(3x+1)2−(2x−1)2(2x−1)(x+2)(3x+1)\frac{(3x+1)^2 - (2x-1)^2}{(2x-1)(x+2)(3x+1)}

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b) a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) na brojilac:

((3x+1)−(2x−1))((3x+1)+(2x−1))(2x−1)(x+2)(3x+1)\frac{((3x+1) - (2x-1))((3x+1) + (2x-1))}{(2x-1)(x+2)(3x+1)}

Sređujemo izraze u zagradama u brojocu:

(3x+1−2x+1)(3x+1+2x−1)(2x−1)(x+2)(3x+1)=(x+2)(5x)(2x−1)(x+2)(3x+1)\frac{(3x+1-2x+1)(3x+1+2x-1)}{(2x-1)(x+2)(3x+1)} = \frac{(x+2)(5x)}{(2x-1)(x+2)(3x+1)}

Skraćujemo zajednički činilac (x+2) (x+2) uz uslov x≠−2: x \neq -2 :

5x(2x−1)(3x+1)\frac{5x}{(2x-1)(3x+1)}

Konačan oblik uprošćenog izraza je:

5x6x2+x−1\frac{5x}{6x^2+x-1}