4097.

624.z

TEKST ZADATKA

a5x+a4xbx+a3xb2xa3x−b3x \frac{a^{5x} + a^{4x}b^x + a^{3x}b^{2x}}{a^{3x} - b^{3x}} ; n,x,y∈N. n, x, y \in \mathbb{N} .

REŠENJE ZADATKA

Prvo, posmatrajmo brojilac datog izraza. Možemo izdvojiti zajednički faktor a3x. a^{3x} .

a5x+a4xbx+a3xb2x=a3x(a2x+axbx+b2x)a^{5x} + a^{4x}b^x + a^{3x}b^{2x} = a^{3x}(a^{2x} + a^xb^x + b^{2x})

Sada posmatrajmo imenilac. Prepoznajemo razliku kubova, jer se izraz može zapisati kao (ax)3−(bx)3. (a^x)^3 - (b^x)^3 .

a3x−b3x=(ax)3−(bx)3a^{3x} - b^{3x} = (a^x)^3 - (b^x)^3

Primenjujemo formulu za razliku kubova A3−B3=(A−B)(A2+AB+B2). A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) .

a3x−b3x=(ax−bx)(a2x+axbx+b2x)a^{3x} - b^{3x} = (a^x - b^x)(a^{2x} + a^xb^x + b^{2x})

Zamenjujemo dobijene izraze za brojilac i imenilac nazad u početni razlomak.

a3x(a2x+axbx+b2x)(ax−bx)(a2x+axbx+b2x)\frac{a^{3x}(a^{2x} + a^xb^x + b^{2x})}{(a^x - b^x)(a^{2x} + a^xb^x + b^{2x})}

Skraćujemo zajednički faktor a2x+axbx+b2x a^{2x} + a^xb^x + b^{2x} u brojiocu i imeniocu kako bismo dobili konačan rezultat.

a3xax−bx\frac{a^{3x}}{a^x - b^x}