4062.

618.i

TEKST ZADATKA

Skratiti razlomak i zapisati uslove pod kojima dobijena jednakost važi:

x3y2(x2−25)x4y(x+5)\frac{x^3y^2(x^2-25)}{x^4y(x+5)}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove pod kojima je razlomak definisan. Imenilac ne sme biti jednak nuli.

x4y(x+5)≠0x^4y(x+5) \neq 0

Iz uslova da je imenilac različit od nule, dobijamo sledeća ograničenja za promenljive:

x≠0,y≠0,x+5≠0  ⟹  x≠−5x \neq 0, \quad y \neq 0, \quad x+5 \neq 0 \implies x \neq -5

Sada rastavljamo izraz u brojocu koristeći formulu za razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b): a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) :

x2−25=x2−52=(x−5)(x+5)x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)

Zamenjujemo rastavljeni izraz u početni razlomak:

x3y2(x−5)(x+5)x4y(x+5)\frac{x^3y^2(x-5)(x+5)}{x^4y(x+5)}

Skraćujemo zajedničke činioce u brojiocu i imeniocu. Skraćujemo x3, x^3 , y y i (x+5): (x+5) :

x3⋅y⋅y⋅(x−5)(x+5)x⋅x3⋅y⋅(x+5)\frac{\cancel{x^3} \cdot y \cdot y \cdot (x-5) \cancel{(x+5)}}{x \cdot \cancel{x^3} \cdot \cancel{y} \cdot \cancel{(x+5)}}

Nakon skraćivanja, dobijamo konačan oblik razlomka uz navedene uslove:

y(x−5)x,x∈R∖{−5,0},y≠0\frac{y(x-5)}{x}, \quad x \in \mathbb{R} \setminus \{-5, 0\}, \quad y \neq 0