6156. Određeni integrali

Parcijalna integracija kod određenog integrala: $\int_a^b u\,dv=\left.(uv)\right|_a^b-\int_a^b v\,du .$ Uzimamo $u=\operatorname{arctg}x ,$ $dv=x\,dx$ ; za $v$ biramo $\frac{x^2+1}2$ (i to je primitivna funkcija od $x$ ), da bi se $v\,du=\frac12dx$ pojednostavilo:

u=\operatorname{arctg}x,\quad du=\frac{dx}{1+x^2},\quad v=\frac{x^2+1}{2}

Uvrštavamo:

\int_0^1x\operatorname{arctg}x\,dx=\left.\frac{x^2+1}2\operatorname{arctg}x\right|_0^1-\frac12\int_0^1dx=\frac22\cdot\frac\pi4-0-\frac12=\frac\pi4-\frac12

Dakle, $\int_0^1x\operatorname{arctg}x\,dx=\frac\pi4-\frac12 .$

Započni učenje

Privatni časovi

351.v

Beleške