6154. Određeni integrali

Parcijalna integracija kod određenog integrala: $\int_a^b u\,dv=\left.(uv)\right|_a^b-\int_a^b v\,du .$ Uzimamo $u=\ln x ,$ $dv=x^n\,dx ,$ pa je $du=\frac{dx}x ,$ $v=\frac{x^{n+1}}{n+1} :$

\int_1^ex^n\ln x\,dx=\left.\frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}\right|_1^e-\frac1{n+1}\int_1^ex^n\,dx

U prvom članu je $\ln e=1 ,$ $\ln1=0$ ; drugi integral je $\left.\frac{x^{n+1}}{n+1}\right|_1^e=\frac{e^{n+1}-1}{n+1} :$

\int_1^ex^n\ln x\,dx=\frac{e^{n+1}}{n+1}-\frac{e^{n+1}-1}{(n+1)^2}=\frac{ne^{n+1}+1}{(n+1)^2}

Provera za $n=1 :$ formula daje $\frac{e^2+1}4\approx2{,}0973 ,$ a direktno $\left.\left(\frac{x^2}2\ln x-\frac{x^2}4\right)\right|_1^e=\frac{e^2}4+\frac14 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom. Vrednost integrala je $\int_1^ex^n\ln x\,dx=\frac{ne^{n+1}+1}{(n+1)^2} .$

Započni učenje

Privatni časovi

351.g

Beleške