6155. Određeni integrali

Parcijalna integracija kod određenog integrala: $\int_a^b u\,dv=\left.(uv)\right|_a^b-\int_a^b v\,du .$ Uzimamo $u=x ,$ $dv=\frac{dx}{\sin^2x} ,$ $v=-\operatorname{ctg}x$ ; po zadatku 330.đ je $\int\operatorname{ctg}x\,dx=\ln|\sin x| :$

\int_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{x\,dx}{\sin^2x}=\left.\left(-x\operatorname{ctg}x+\ln\sin x\right)\right|_{\pi/4}^{\pi/3}

Uz $\operatorname{ctg}\frac\pi3=\frac1{\sqrt3} ,$ $\operatorname{ctg}\frac\pi4=1 ,$ $\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2 ,$ $\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2 :$

=-\frac{\pi}{3\sqrt3}+\ln\frac{\sqrt3}2+\frac\pi4-\ln\frac{\sqrt2}2=\frac\pi4-\frac{\sqrt3\pi}{9}+\frac12\ln\frac32

Iskoristili smo $\frac{\pi}{3\sqrt3}=\frac{\sqrt3\pi}9$ i $\ln\frac{\sqrt3}{\sqrt2}=\frac12\ln\frac32 .$ Brojno je $\approx0{,}3835 .$ Vrednost integrala je $\int_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{x\,dx}{\sin^2x}=\frac{\pi}{36}(9-4\sqrt3)+\frac12\ln\frac32 .$

Započni učenje

Privatni časovi

351.i

Beleške