6153. Određeni integrali

Iz $1+\operatorname{tg}^2x=\frac1{\cos^2x}$ sledi $x\operatorname{tg}^2x=\frac{x}{\cos^2x}-x :$

\int_0^{\pi/4}x\operatorname{tg}^2x\,dx=\int_0^{\pi/4}\frac{x\,dx}{\cos^2x}-\int_0^{\pi/4}x\,dx

Parcijalna integracija kod određenog integrala: $\int_a^b u\,dv=\left.(uv)\right|_a^b-\int_a^b v\,du .$ Za prvi integral $u=x ,$ $dv=\frac{dx}{\cos^2x} ,$ $v=\operatorname{tg}x$ ; po zadatku 330.d je $\int\operatorname{tg}x\,dx=-\ln|\cos x| :$

\int_0^{\pi/4}\frac{x\,dx}{\cos^2x}=\left.x\operatorname{tg}x\right|_0^{\pi/4}-\int_0^{\pi/4}\operatorname{tg}x\,dx=\frac\pi4+\left.\ln\cos x\right|_0^{\pi/4}=\frac\pi4+\ln\frac{\sqrt2}2

Drugi integral je $\left.\frac{x^2}2\right|_0^{\pi/4}=\frac{\pi^2}{32} ,$ a $\ln\frac{\sqrt2}2=-\frac12\ln2 :$

\int_0^{\pi/4}x\operatorname{tg}^2x\,dx=\frac\pi4-\frac{\pi^2}{32}-\frac12\ln2

Brojno je $\approx0{,}1304 .$ Traženi integral je $\int_0^{\pi/4}x\operatorname{tg}^2x\,dx=\frac\pi4-\frac{\pi^2}{32}+\ln\frac{\sqrt2}{2} .$

Započni učenje

Privatni časovi

351.e

Beleške