6147. Određeni integrali

Smena kod određenog integrala: ako je $x=\varphi(t) ,$ $a=\varphi(\alpha)$ i $b=\varphi(\beta) ,$ onda je $\int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt .$ Granice se menjaju zajedno sa promenljivom, pa se na kraju ne vraćamo na $x .$ Uvodimo $t=\sqrt{1+x} ,$ $x=t^2-1 ,$ $dx=2t\,dt$ ; granice: $x=3\Rightarrow t=2 ,$ $x=8\Rightarrow t=3 :$

\int_3^8\frac{x\,dx}{\sqrt{1+x}}=\int_2^3\frac{(t^2-1)\cdot2t}{t}\,dt=2\int_2^3(t^2-1)\,dt

Njutn-Lajbnicova formula: ako je $f$ neprekidna na $[a,b]$ i $F$ njena primitivna funkcija, onda je $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\left.F(x)\right|_a^b .$

2\left.\left(\frac{t^3}3-t\right)\right|_2^3=2\left((9-3)-\left(\frac83-2\right)\right)=2\left(6-\frac23\right)=\frac{32}3

Zaključujemo da je $\int_3^8\frac{x\,dx}{\sqrt{1+x}}=\frac{32}{3} .$

Započni učenje

Privatni časovi

350.z

Beleške