6145. Određeni integrali

Smena kod određenog integrala: ako je $x=\varphi(t) ,$ $a=\varphi(\alpha)$ i $b=\varphi(\beta) ,$ onda je $\int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt .$ Granice se menjaju zajedno sa promenljivom, pa se na kraju ne vraćamo na $x .$ Uvodimo $t=\sqrt x ,$ $dx=2t\,dt$ ; granice ostaju $0$ i $1 :$

\int_0^1\frac{\sqrt x\,dx}{1+x}=\int_0^1\frac{2t^2\,dt}{1+t^2}=2\int_0^1\left(1-\frac1{1+t^2}\right)dt

Njutn-Lajbnicova formula: ako je $f$ neprekidna na $[a,b]$ i $F$ njena primitivna funkcija, onda je $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\left.F(x)\right|_a^b .$

2\left.\left(t-\operatorname{arctg}t\right)\right|_0^1=2\left(1-\frac\pi4\right)=2-\frac\pi2

Brojno je $2-\frac\pi2\approx0{,}4292 .$ Konačno, $\int_0^1\frac{\sqrt x\,dx}{1+x}=2-\frac\pi2 .$

Započni učenje

Privatni časovi

350.i

Beleške