6138. Određeni integrali

Smena kod određenog integrala: ako je $x=\varphi(t) ,$ $a=\varphi(\alpha)$ i $b=\varphi(\beta) ,$ onda je $\int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt .$ Granice se menjaju zajedno sa promenljivom, pa se na kraju ne vraćamo na $x .$ Uvodimo $x=a\sin t ,$ $t\in\left[0,\frac\pi2\right]$ ; tada je $dx=a\cos t\,dt ,$ a pošto je $\cos t\ge0 ,$ $\sqrt{a^2-a^2\sin^2t}=a\cos t .$ Granice: $x=0\Rightarrow t=0 ,$ $x=a\Rightarrow t=\frac\pi2 :$

\int_0^ax^2\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\int_0^{\pi/2}a^2\sin^2t\cdot a\cos t\cdot a\cos t\,dt=a^4\int_0^{\pi/2}\sin^2t\cos^2t\,dt

Iz $\sin2t=2\sin t\cos t$ je $\sin^2t\cos^2t=\frac{\sin^22t}4 ,$ a iz $\cos4t=1-2\sin^22t$ je $\sin^22t=\frac{1-\cos4t}2 :$

a^4\int_0^{\pi/2}\frac{1-\cos4t}{8}\,dt=\frac{a^4}8\left.\left(t-\frac{\sin4t}4\right)\right|_0^{\pi/2}=\frac{a^4}8\cdot\frac\pi2=\frac{\pi a^4}{16}

Provera za $a=1 :$ $\frac{\pi}{16}\approx0{,}1963 ,$ a numeričko računanje integrala $\int_0^1x^2\sqrt{1-x^2}\,dx$ daje isto, što se slaže sa dobijenim rezultatom. Vrednost integrala je $\int_0^ax^2\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{\pi a^4}{16} .$

Započni učenje

Privatni časovi

349.v

Beleške