6137. Određeni integrali

Smena kod određenog integrala: ako je $x=\varphi(t) ,$ $a=\varphi(\alpha)$ i $b=\varphi(\beta) ,$ onda je $\int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt .$ Granice se menjaju zajedno sa promenljivom, pa se na kraju ne vraćamo na $x .$ Uvodimo $t=e^x ,$ $dt=e^x\,dx .$ Granice: $x=0\Rightarrow t=1 ,$ $x=1\Rightarrow t=e :$

\int_0^1\frac{e^x\,dx}{1+e^{2x}}=\int_1^e\frac{dt}{1+t^2}

Njutn-Lajbnicova formula: ako je $f$ neprekidna na $[a,b]$ i $F$ njena primitivna funkcija, onda je $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\left.F(x)\right|_a^b .$ Primitivna funkcija je $\operatorname{arctg}t ,$ a $\operatorname{arctg}1=\frac\pi4 :$

\left.\operatorname{arctg}t\right|_1^e=\operatorname{arctg}e-\frac\pi4

Brojno je $\operatorname{arctg}e-\frac\pi4\approx0{,}4329 .$ Zaključujemo da je $\int_0^1\frac{e^x\,dx}{1+e^{2x}}=\operatorname{arctg}e-\frac\pi4 .$

Započni učenje

Privatni časovi

349.g

Beleške