6133. Određeni integrali

Smena kod određenog integrala: ako je $x=\varphi(t) ,$ $a=\varphi(\alpha)$ i $b=\varphi(\beta) ,$ onda je $\int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt .$ Granice se menjaju zajedno sa promenljivom, pa se na kraju ne vraćamo na $x .$ Uvodimo $t=\sqrt{2-x} ,$ $x=2-t^2 ,$ $dx=-2t\,dt .$ Granice: $x=-1\Rightarrow t=\sqrt3 ,$ $x=1\Rightarrow t=1 :$

\int_{-1}^1\frac{x\,dx}{\sqrt{2-x}}=\int_{\sqrt3}^1\frac{(2-t^2)(-2t)}{t}\,dt=2\int_1^{\sqrt3}(2-t^2)\,dt

Njutn-Lajbnicova formula: ako je $f$ neprekidna na $[a,b]$ i $F$ njena primitivna funkcija, onda je $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\left.F(x)\right|_a^b .$

2\left.\left(2t-\frac{t^3}3\right)\right|_1^{\sqrt3}=2\left(2\sqrt3-\sqrt3-2+\frac13\right)=2\left(\sqrt3-\frac53\right)

Brojno je $2\sqrt3-\frac{10}3\approx0{,}1308 .$ Dakle, $\int_{-1}^1\frac{x\,dx}{\sqrt{2-x}}=2\left(\sqrt3-\frac53\right) .$

Započni učenje

Privatni časovi

349.b

Beleške