6132. Određeni integrali

Smena kod određenog integrala: ako je $x=\varphi(t) ,$ $a=\varphi(\alpha)$ i $b=\varphi(\beta) ,$ onda je $\int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt .$ Granice se menjaju zajedno sa promenljivom, pa se na kraju ne vraćamo na $x .$ Uvodimo $t=\sqrt[3]{1-x} ,$ tj. $x=1-t^3 ,$ $dx=-3t^2\,dt .$ Nove granice: za $x=1$ je $t=0 ,$ a za $x=9$ je $t=\sqrt[3]{-8}=-2 :$

\int_1^9x\sqrt[3]{1-x}\,dx=\int_0^{-2}(1-t^3)\cdot t\cdot(-3t^2)\,dt=3\int_{-2}^0\left(t^3-t^6\right)dt

Pri zameni mesta granica promenili smo znak ( $\int_0^{-2}=-\int_{-2}^0$ ). Njutn-Lajbnicova formula: ako je $f$ neprekidna na $[a,b]$ i $F$ njena primitivna funkcija, onda je $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\left.F(x)\right|_a^b .$

3\left.\left(\frac{t^4}4-\frac{t^7}7\right)\right|_{-2}^0=3\left(0-\left(\frac{16}4+\frac{128}7\right)\right)=-3\cdot\frac{156}{7}=-\frac{468}7

Rezultat je negativan jer je na $(1,9]$ izraz $1-x$ negativan, pa je i podintegralna funkcija negativna. Prema tome, $\int_1^9x\sqrt[3]{1-x}\,dx=-\frac{468}{7}=-66\frac67 .$

Započni učenje

Privatni časovi

349.a

Beleške