6131. Određeni integrali

Iz $\cos2x=2\cos^2x-1$ sledi $\frac{1+\cos2x}2=\cos^2x .$ Kvadratni koren iz kvadrata nije uvek $\cos x :$ na primer, za $x=\pi$ je $\sqrt{\cos^2\pi}=\sqrt{(-1)^2}=1 ,$ a ne $-1 .$ Zato je $\sqrt{\cos^2x}=|\cos x| :$

\sqrt{\frac{1+\cos2x}2}=\sqrt{\cos^2x}=|\cos x|

Apsolutnu vrednost zapisujemo po definiciji; na $[0,\pi]$ je $\cos x\ge0$ za $x\le\frac\pi2 ,$ a $\cos x<0$ za $x>\frac\pi2 :$

|\cos x|=\begin{cases}\cos x, & 0\le x\le\frac\pi2\\ -\cos x, & \frac\pi2<x\le\pi\end{cases}

Njutn-Lajbnicova formula: ako je $f$ neprekidna na $[a,b]$ i $F$ njena primitivna funkcija, onda je $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\left.F(x)\right|_a^b .$ Integral delimo u tački $\frac\pi2$ ; primitivna funkcija od $\cos x$ je $\sin x :$

\int_0^\pi|\cos x|\,dx=\left.\sin x\right|_0^{\pi/2}+\left.(-\sin x)\right|_{\pi/2}^{\pi}=(1-0)+(-0+1)=2

Upozorenje: da smo pogrešno pisali $\sqrt{\cos^2x}=\cos x ,$ dobili bismo $\int_0^\pi\cos x\,dx=0 ,$ što je nemoguće, jer je podintegralna funkcija nenegativna i nije identički nula. Traženi integral je $\int_0^\pi\sqrt{\frac{1+\cos2x}{2}}\,dx=2 .$

Započni učenje

Privatni časovi

348

Beleške