6130. Određeni integrali

Određeni integral po definiciji: interval $[a,b]$ podelimo tačkama $a=x_0<x_1<\dots<x_n=b ,$ u svakom podintervalu izaberemo tačku $\xi_i$ i obrazujemo integralnu sumu $\sigma_n=\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)(x_{i+1}-x_i) .$ Ako ove sume teže istom broju kada najveća dužina podintervala teži nuli, taj broj je $\int_a^bf(x)\,dx .$ Tačke podele čine geometrijski niz sa količnikom $q>1 .$ Dužina $i$ -tog podintervala je $x_{i+1}-x_i=aq^i(q-1) ,$ a za $\xi_i$ biramo levi kraj $x_i=aq^i :$

\sigma_n=\sum_{i=0}^{n-1}\left(aq^i\right)^2\cdot aq^i(q-1)=a^3(q-1)\sum_{i=0}^{n-1}\left(q^3\right)^i

Zbir je geometrijski, sa količnikom $q^3 :$ $\sum_{i=0}^{n-1}(q^3)^i=\frac{q^{3n}-1}{q^3-1} .$ Pošto je $q^n=\frac ba ,$ važi $a^3q^{3n}=b^3 ,$ a $q^3-1=(q-1)(q^2+q+1) :$

\sigma_n=a^3(q-1)\cdot\frac{q^{3n}-1}{q^3-1}=\frac{(b^3-a^3)(q-1)}{(q-1)(q^2+q+1)}=\frac{b^3-a^3}{q^2+q+1}

Kada $n\to\infty ,$ $q=\left(\frac ba\right)^{\frac1n}\to\left(\frac ba\right)^0=1$ ; pritom najduži podinterval, poslednji, ima dužinu $b\cdot\frac{q-1}{q}\to0 ,$ pa podela postaje sve finija. Zato:

\int_a^bx^2\,dx=\lim_{n\to\infty}\frac{b^3-a^3}{q^2+q+1}=\frac{b^3-a^3}{1+1+1}=\frac{b^3-a^3}3

Primer za $a=1 ,$ $b=2 :$ sume za $n=10;\ 100;\ 1000$ su $2{,}1736;\ 2{,}3172;\ 2{,}3317$ i približavaju se broju $\frac{8-1}3\approx2{,}3333 .$ Njutn-Lajbnicova formula daje isto, $\left.\frac{x^3}3\right|_a^b=\frac{b^3-a^3}3 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Konačno, $\int_a^bx^2\,dx=\frac{b^3-a^3}{3} .$

Započni učenje

Privatni časovi

347

Beleške